Kapitola 4SplineSpline je většinou chápán jako jako po částech polynomická funkce se spojitou derivací co donejvyššího řádu.Motivace pro zavedení kubického splinu (je matematickým modelem chování pružného laťkovéhokřivítka):• z mechaniky: ohybová energie E je úměrná křivosti κ, tj. ve variační formulaciE = c∫ 10κ 2 ds → min• pro křivost grafu funkce platí• ds = √ 1 + y ′2 dxκ =f” 2(1 + f ′2 ) 3• E = c ∫ 10f” 2(1+f ′2 ) 5 2≈ c ∫ 10 f”2 dx → min• ve variačním počtu se ukazuje, že k určení minima∫g(f, f ′ , f”, x)dxje nutné řešit rovnici (Eulerova-Lagrangeova)Ωg f − ddx g f ′ + d2dx 2 g f” = 0• pro spline platí g f” = 2f”, proto se naše úloha redukuje na rovnici f (4) = 0 a jejím řešenímjsou kubické polynomy.28
4.1 Interpolační křivkyV numerické matematice se používá interpolace funkcí zejména k náhradě funkce polynomem.Na tomto principu pracují algoritmy pro výpočet určitého integrálu apod. V počítačové graficeinterpolace slouží ke kreslení (definování) křivky, pro kterou známe několik bodů (nazýváme jeopěrnými body nebo uzly interpolace). Interpolační křivka těmito body prochází. Problémemvšak je, jak stanovit hodnotu parametru, pro níž obdržíme daný opěrný bod interpolační křivky.Interpolační křivka je tedy dána opěrnými body P 0 , P 1 , . . . , P n a hodnotami t 0 , t 1 , . . . , t nparametru pro tyto body. Má pak vektorové vyjádřenía platíP = P (t), t ∈ 〈t 0 , t n 〉P i = P (t i ), i = 0, . . . , n.Hodnoty parametru t i se většinou určují automaticky. Je-li t i+1 − t i = konst, mluvíme o uniformníparametrizaci interpolační křivky. Nejčastěji se v tomto případě volí t i = i. Pro automatickouneuniformní parametrizaci se používá vztahu t i+1 = t i + k |P i+1 − P i |, kde k je jistákonstanta, tj. přírůstek parametru mezi dvěma opěrnými body křivky je úměrný délce příslušnétětivy křivky. Neuniformní parametrizace se používá zejména v tom případě, že opěrné bodyjsou silně nerovnoměrně rozloženy. Interpolační křivka se zpravidla vytváří z jednotlivých obloukůkřivky, neboť pokud bychom chtěli jednou vektorovou funkcí s polynomickými složkamipopsat celou interpolační křivku, byly by tyto polynomy vysokého stupně (stupně n). Základempro výpočet interpolační křivky po obloucích je tzv. Fergusonova kubika.4.2 Fergusonova kubikaNechť jsou dány body P i a P i+1 s polohovými vektory P i a P i+1 . Označme dále P ′ i a P ′ i+1tečné vektory v těchto bodech. Nechť uvedeným bodům odpovídají hodnoty t i a t i+1 parametru.Fergusonovu kubiku určíme pomocí rovniceP (t) = H 0 (t − t i )P i + H 1 (t − t i )P i+1 + (4.1)+ H 2 (t − t i )P ′ i + H 3 (t − t i )P ′ i+1,kde H i (s) jsou polynomy třetího stupně.Z podmínek P (t i ) = P i , P (t i+1 ) = P i+1 , P ′ (t i ) = P ′ i, P ′ (t i+1 ) = P ′ i+1 určíme vektorykoeficientů u jednotlivých mocnin výrazu t − t i a dojdeme při označení i k = t i+1 − t i , s = t − t ik těmto vztahůmH 0 (s) = 2ik 3 s3 − 3ik 2 s2 + 1,H 1 (s) = − 2ik 3 s3 + 3ik 2 s2 , (4.2)H 2 (s) = 1ik 2 s3 − 2ik s2 + s,H 3 (s) = 1ik 2 s3 − 1ik s2 .29
- Page 1 and 2: Západočeská univerzita v Plzni,
- Page 3 and 4: 3.3.5 Parametrizace pomocí racion
- Page 5 and 6: 11 Modelování těles 7611.1 Jemn
- Page 7 and 8: Kapitola 1Úvod1.1 Pojem modeluV to
- Page 9 and 10: Konstrukce Příprava výroby Výro
- Page 11 and 12: 2.2 Geometrické transformace v rov
- Page 13 and 14: 2.3.1 Posunutí neboli translacePos
- Page 15 and 16: Snadno zjistíme, že daná matice
- Page 17 and 18: 2.2 Určete obrazy bodů S[1, 2] a
- Page 19 and 20: 3.2 Parametrizace křivkyDefinice 3
- Page 21 and 22: FOR i:=1 TO n DO{Cykl pro jednotliv
- Page 23 and 24: Důkaz: Je snadným důsledkem vět
- Page 25 and 26: Důkaz: Vektory m 1 (t), m 2 (t), m
- Page 27: 3.7 Kontrolní otázky3.1 Jak ově
- Page 31 and 32: tj.x = 2t − 1, y = −2t 2 + 2t,
- Page 33 and 34: Obrázek 4.2:4.4 Spline stupně sP
- Page 35 and 36: Kapitola 5Bézierovy křivkyTeorie
- Page 37 and 38: • Platín∑Bi n (t) = 1pro každ
- Page 39 and 40: 6. Libovolný polynom stupně n lze
- Page 41 and 42: VypočtemeP ′ (0) = 1 64∑V i C
- Page 43 and 44: Porovnáním vztahů pro výpočet
- Page 45 and 46: 6.3 B-spline křivkyB-spline křivk
- Page 47 and 48: 6.7 Kontrolní otázky6.1 Uveďte p
- Page 49 and 50: 7.2.1 Vlastnosti racionálních Bé
- Page 51 and 52: a k = 2, T = (0, 0, 1, 2, 2).Afinn
- Page 53 and 54: Důkaz: Tvrzení je snadným důsle
- Page 55 and 56: tj. takto zadané body tvoří rovn
- Page 57 and 58: Plocha, která je vytvořena jako B
- Page 59 and 60: • Translační plochy, u nichž j
- Page 61 and 62: Kapitola 9Coonsovy plochy - plochy
- Page 63 and 64: Snadno dokážeme, že tato plocha
- Page 65 and 66: 9.5 Obecný Coonsův plátUvedli js
- Page 67 and 68: Kapitola 10Shrnutí poznatků o kř
- Page 69 and 70: 10.1.3 Bézierovy křivkyGlobální
- Page 71 and 72: • na okrajových křivkách stano
- Page 73 and 74: 10.2.7 Obecný Coonsův plátDáno:
- Page 75 and 76: 10.2.12 Trojúhelníkové plátyDá
- Page 77 and 78: • E - počet hran tělesa,• F -
- Page 79 and 80:
• CSG reprezentace - CSG = Constr
- Page 81 and 82:
(a) PICME metody. V roce 1986 Sunde
- Page 83 and 84:
Kapitola 12CAD/CAM/PLMUplatnění v
- Page 85 and 86:
uchopení vede jen k výpočtu geom
- Page 87 and 88:
cholů, hran nebo i dvojice ploch.
- Page 89 and 90:
12.4 Výběr CAD systémuJak si z r
- Page 91 and 92:
Literatura[1] Bär, G.: Geometrie.
Change language