Numerické a geometrické modelování - Západočeská univerzita v ...

2. Bézierova křivka se v počátečním bodě dotýká první strany řídicího polygonu a v koncovémbodě se dotýká poslední strany tohoto polygonu.Důkaz provedeme pomocí výpočtu první derivace vektorové funkce P (t) a v příslušnémbodě. Pro t = 0 plyne B1 n′ (0) = −(n − 1), B2 n′ (0) = n − 1 a pro i ≥ 2 platí Bi n′ (0) = 0.TedyP ′ (0) = (n − 1)(V 2 − V 1 ).Podobně plyne Bn n′ (1) = n − 1, Bn−1(1) n′ = −(n − 1) a proi < n − 1, (i > 0), Bi n (1) = 0. ProtoP ′ (1) = (n − 1)(V n − V n−1 ).Z uvedených vztahů plyne, že Bézierova kubika (n = 4) je Fergusonovou kubikou probody V 1 a V 4 a pro tečné vektory 3(V 2 − V 1 ) a 3(V 4 − V 3 ) v těchto bodech.3. Jestliže algoritmy výpočtu hodnot Bernsteinových polynomů aplikujeme na výpočet bodůBézierovy křivky, dostaneme tzv. algoritmus de Casteljau - obr. 5.6. Strany řídícího polygokujsou opakovaně děleny v poměru, který odpovídá hodnotě parametru určovanéhobodu křivky. Na obr. 5.6 se jedná o určení bodu pro parametr t = 0, 5.4. Z definice Bézierovy křivky pro polygon V 1 , . . . , V n plyne, že se jedná o křivku stupně ažn − 1. Ve zvláštních případech se však může stát, že koeficienty u členu t n−1 jsou nulové.V aplikacích dochází k situaci, že místo řídicího polygonu V 1 , . . . , V n hledáme polygonV1 ∗ , . . . , Vn ∗ , Vn+1 ∗ tak, aby oba určovaly stejnou Bézierovu křivku. Zvýšením počtu vrcholůřídicího polygonu se např. rozšíří možnosti tvarování křivky. Aby oba polygony určovalystejnou Bézierovu křivku, musí platitpro t ∈< 0, 1 >. Platí, žekde α i = i−1n .n∑∑n+1V i Bi n (t) = V ∗ jB n+1j (t)i=1j=1V ∗ 1 = V 1 , V ∗ n+1 = V n ,V ∗ i = α i V i−1 + (1 − α i )V i ,5. Ukážeme, jak lze vytvořit křivku složením z několika Bézierových křivek.Uvažujme Bézierovy křivky 1 P ( 1 t), 1 t ∈< 0, 1 >, resp. 2 P ( 2 t), 2 t ∈< 0, 1 > s řídicímipolygony 1 V 1 , . . . 1 V n , resp. 2 V 1 , . . . , 2 V m . Nechť 1 V n = 2 V 1 . Jelikož platí1 P ′ (1) = (n − 1)( 1 V n − 1 V n−1 ),2 P ′ (0) = (m − 1)( 2 V 2 − 2 V 1 ),stačí k zajištění dotyku Bézierových křivek, aby body 1 V n−1 , 1 V n = 2 V 1 a 2 V 2 ležely najedné přímce ( 1 V n−1 ≠ 1 V n , 2 V 1 ≠ 2 V 2 ). Pokud bychom však požadovali spojitost prvníderivace vektorové funkce, je nutné zajistit platnost vztahu(n − 1)( 1 V n − 1 V n−1 ) = (m − 1)( 2 V 2 − 2 V 1 ).38