Numerické a geometrické modelování - Západočeská univerzita v ...

Transformace Vlastnosti matice PoznámkaIdentita A a = I, a 4i = 0, i = 1, . . . , 3TranslaceA a = I, pro alespoň jeden index všechny směry samodružnéi ∈ {1, 2, 3} je a 4i ≠ 0Středová souměrnost A a = −I všechny směry samodružnéHomotetie A a = k I, k ≠ 0 všechny směry samodružnéShodnost A T a .A a = I zachovává vzdálenostPodobnost A T a .A a = k 2 I k je koeficient změny délekAfinita det(A a ) ≠ 0 zachovává dělící poměrTabulka 2.1: Charakteristické vlastnosti matice pro podgrupy afinních transformacíPříklad 2.4 Ukažte, že transformaceje shodností.X ′ =√22 (X − Y ) + 1, y′ =√22 (X + Y ) + 2, Z′ = Z + 3Řešení: Sestavíme matici A a . Jde nepochybně o afinní transformaci: detA a = 1, tj. je nenulový,a a 14 = a 24 = a 34 = 0. Určíme součin A T a A a . Pokud tak dostaneme jednotkovou matici, jedokázáno, že daná transformace je shodností. Daná transformace vzniká složením rotace okoloosy z o úhel π a posunutí o vektor (1,2,3).4□Příklad 2.5 Ukažte, že transformace z příkladu 2.3 není shodností ani podobností.Řešení: Sestavíme matici A a . Jde nepochybně o afinní transformaci, detA a = 1 a a 14 = a 24 =a 34 = 0. Určíme součin A T a A a . Výsledná matice má tvar( ) 2 1,1 1tj. nejedná se o shodnost ani podobnost. V tomto případě jde o tzv. plochojevné zobrazení(plošný obsah geometrických útvarů se tímto zobrazením nemění), jejich charakteristikou je|detA a | = 1.□2.6 Cvičení2.1 Sestavte matici geometrické transformace v E 2 , která vznikne složením (v tomto pořadí)rotace okolo bodu S[1, 2] o úhel 45 o a dilatace, v níž se⎡mění měřítko ⎛ na ose x na poloviční.√2⎢ ⎜, √ ⎞⎤2, 04 2⎣T = ⎝ − √ 2, √2, 0 ⎟⎥4 2⎠⎦1+ √ 2, 2 − √ 32 4 2 2, 116