Numerické a geometrické modelování - Západočeská univerzita v ...

P = S ± P 1 cosh t + P 2 sinh t, t ∈ (−∞, ∞). (3.4)Význam jednotlivých vektorů v rovnici 3.4 je následující: S je polohovým vektorem středuhyperboly, vektor S + P 1 určuje bod hyperboly a tečna hyperboly v tomto bodě je směru P 2 .Znaménko ± v rovnici 3.4 dovoluje popis celé hyperboly, tj. obou jejích větví. Při praktickémpoužití však musíme zvlášť použít rovnici pro znaménko plus a pro znaménko mínus.3.3.5 Parametrizace pomocí racionálních lomených funkcíVhodnými substitucemi lze provést parametrizaci jednotlivých kuželoseček pomocí racionálníchlomených funkcí:Kružnice – pomocí substituce známé z integrálního počtu máme1 − t 2P = S + P 11 + t + P 2t2 2 , t ∈ (−∞, ∞),1 + t2 kde S je polohový vektor středu kružnice a vektory P 1 a P 2 jsou na sebe kolmé vektoryo stejné velikosti (určují na sebe kolmé poloměry).Elipsa – tvar je formálně shodný s parametrickým vyjádřením kružnice:1 − t 2P = S + P 11 + t + P 2t2 2 , t ∈ (−∞, ∞),1 + t2 kde S je polohový vektor středu kružnice a vektory P 1 a P 2 určují sdružené průměryelipsy.Parabola – je jedinou kuželosečkou, kterou lze popsat parametricky pomocí polynomů, cožjsme již učinili.Hyperbola1 + t 2P = S + P 11 − t + P 2t2 2 , t ∈ (−∞, ∞).1 − t2 Uvedená parametrická vyjádření kuželoseček ukazují, že všechny kuželosečky lze popsat jakoNURBS křivky, o kterých pojednáme v dalším textu.3.4 Tečný vektor, tečna, tečná rovinaDefinice 3.4 Nechť P (t), t ∈ I a nechť t 0 ∈ I. Pak vektor P ′ (t 0 ) nazýváme tečným vektoremkřivky v bodě daném polohovým vektorem P (t 0 ). Tečnou rozumíme přímkuQ(u) = P (t 0 ) + uP ′ (t 0 ), u ∈ RVěta 3.2 Tečný vektor není invariantem vzhledem ke změně parametrizace. Tečna je invariantemvzhledem ke změně parametrizace.22