Numerické a geometrické modelování - Západočeská univerzita v ...

More documents

Recommendations

Info

Kapitola 7NURBS7.1 PrincipPodstatnou je použití odpovídajících rovnic pro Bézierovy a B-spline křivky v prostoru homogenníchsouřadnic.Důvody k tomuto kroku jsou:• možnost popisu křivek, které nebylo možné popsat klasickými metodami (kuželosečkys výjimkou paraboly),• řídicí lomená čára může mít i nevlastní body, tj. afinní invariantnost se rozšiřuje naprojektivní invariantnost,• pro tváření křivky jsou k dispozici další parametry – váhy vrcholů řídicího polygonu.7.2 Racionální Bézierovy křivkyUvažujme body dané v homogenních souřadnicích:V ∗ i = ( 1 x ∗ i , 2 x ∗ i , 3 x ∗ i , β i ), i = 1, . . . , n,kde j x ∗ i = j x i β i a označme V i = ( 1 x i , 2 x i , 3 x i ). Pokud aplikujeme výpočet Bézierovy křivkyna takto určené body a pak přejdeme ke kartézským souřadnicím, obdržímeP (t) =∑ ni=1 β iV i B n i (t)∑ ni=1 β iB n i (t) (7.1)Jestliže jsou všechny váhy rovny jedné, přechází racionální Bézierova křivka v Bézierovukřivku.Pro racionální Bézierovy křivky mohou být některé vrcholy řídícího polygonu i nevlastníbody (β i = 0).48
7.2.1 Vlastnosti racionálních Bézierových křivekRacionální Bézierova křivka se dotýká první a poslední strany řídicího polygonu.Velmi speciální vlastnosti dostaneme, je-li některá z vah β i < 0.Předpokládejme, že β i > 0, i = 1, . . . , n, pak platí:• racionální Bézierova křivka leží v konvexním obalu řídicího polygonu,• zachována je podmínka “variation-dimishing-property”, tj. počet průsečíků libovolné přímkys rovinnou racionální Bézierovou křivkou je nejvýše roven počtu průsečíků této přímkys řídicím polygonem.7.2.2 Geometrický význam váhy boduUvažujme racionální Bézierovu křivku ve tvaru (7.1). Nechť pro bod V k se jeho váha změníz hodnoty β k na ˆβ k = β k + ∆ k . Pro ostatní body platí ˆβ i = β i .PlatíˆP (t) =∑ ni=1 ˆβ i V i B n i (t)∑ ni=1 ˆβ i B n i (t) =∑ ni=1 β iV i B n i (t) + ∆ k V k B n k (t)∑ ni=1 β iB n i (t) + ∆ kB n k (t)Stanovíme rozdíl ˆP (t) − P (t). Po rozšíření vztahu výrazemn∑ˆβ i Bi n (t)i=1obdržíme(P (t) − ˆP (t))n∑ˆβ i Bi n (t) == [∑ ni=1 β iBi n (t)][ ∑ ni=1 β iV i Bi n (t)] + [ ∑ ni=1 β iV i Bi n (t)]∆ k Bk ∑ n(t)ni=1 β iBi n(t)i=1− [∑ ni=1 β iBi n (t)][ ∑ ni=1 β iV i Bi n (t)] + [ ∑ ni=1 β iBi n (t)]∆ k V k Bk ∑ n(t)ni=1 β iBi n(t) == P (t)∆ k B n k (t) − V k ∆ k B n k (t) = ∆ k B n k (t)(P (t) − V k )Tedy změna polohy bodu křivky pro parametr t se děje ve směru vektoru P (t) − V k .7.2.3 Kuželosečky jako racionální Bézierovy křivkyUvažujme racionální Bézierovu křivku pro n = 3, tj.P (t) = β 1V 1 B 3 1(t) + β 2 V 2 B 3 2(t) + β 3 V 3 B 3 3(t)β 1 B 3 1(t) + β 2 B 3 2(t) + β 3 B 3 3(t)49
Page 1 and 2: Západočeská univerzita v Plzni,
Page 3 and 4: 3.3.5 Parametrizace pomocí racion
Page 5 and 6: 11 Modelování těles 7611.1 Jemn
Page 7 and 8: Kapitola 1Úvod1.1 Pojem modeluV to
Page 9 and 10: Konstrukce Příprava výroby Výro
Page 11 and 12: 2.2 Geometrické transformace v rov
Page 13 and 14: 2.3.1 Posunutí neboli translacePos
Page 15 and 16: Snadno zjistíme, že daná matice
Page 17 and 18: 2.2 Určete obrazy bodů S[1, 2] a
Page 19 and 20: 3.2 Parametrizace křivkyDefinice 3
Page 21 and 22: FOR i:=1 TO n DO{Cykl pro jednotliv
Page 23 and 24: Důkaz: Je snadným důsledkem vět
Page 25 and 26: Důkaz: Vektory m 1 (t), m 2 (t), m
Page 27 and 28: 3.7 Kontrolní otázky3.1 Jak ově
Page 29 and 30: 4.1 Interpolační křivkyV numeric
Page 31 and 32: tj.x = 2t − 1, y = −2t 2 + 2t,
Page 33 and 34: Obrázek 4.2:4.4 Spline stupně sP
Page 35 and 36: Kapitola 5Bézierovy křivkyTeorie
Page 37 and 38: • Platín∑Bi n (t) = 1pro každ
Page 39 and 40: 6. Libovolný polynom stupně n lze
Page 41 and 42: VypočtemeP ′ (0) = 1 64∑V i C
Page 43 and 44: Porovnáním vztahů pro výpočet
Page 45 and 46: 6.3 B-spline křivkyB-spline křivk
Page 47: 6.7 Kontrolní otázky6.1 Uveďte p
Page 51 and 52: a k = 2, T = (0, 0, 1, 2, 2).Afinn
Page 53 and 54: Důkaz: Tvrzení je snadným důsle
Page 55 and 56: tj. takto zadané body tvoří rovn
Page 57 and 58: Plocha, která je vytvořena jako B
Page 59 and 60: • Translační plochy, u nichž j
Page 61 and 62: Kapitola 9Coonsovy plochy - plochy
Page 63 and 64: Snadno dokážeme, že tato plocha
Page 65 and 66: 9.5 Obecný Coonsův plátUvedli js
Page 67 and 68: Kapitola 10Shrnutí poznatků o kř
Page 69 and 70: 10.1.3 Bézierovy křivkyGlobální
Page 71 and 72: • na okrajových křivkách stano
Page 73 and 74: 10.2.7 Obecný Coonsův plátDáno:
Page 75 and 76: 10.2.12 Trojúhelníkové plátyDá
Page 77 and 78: • E - počet hran tělesa,• F -
Page 79 and 80: • CSG reprezentace - CSG = Constr
Page 81 and 82: (a) PICME metody. V roce 1986 Sunde
Page 83 and 84: Kapitola 12CAD/CAM/PLMUplatnění v
Page 85 and 86: uchopení vede jen k výpočtu geom
Page 87 and 88: cholů, hran nebo i dvojice ploch.
Page 89 and 90: 12.4 Výběr CAD systémuJak si z r
Page 91 and 92: Literatura[1] Bär, G.: Geometrie.

Numerické a geometrické modelování - Západočeská univerzita v ...

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?