Matematicka logika

1.2 Důkazový systém pro výrokovou logiku 11množin formulí takto: S 0 = T , S i+1 je S i ∪ {ϕ i } pokud S i ∪ {ϕ i } je konečněsplnitelná a S i+1 je S i ∪ {¬ϕ i } v opačném případě. Vezměte S = ∪ i S i .Dokažte, že S je konečně splnitelná a S ⊇ T . Dále dokažte, že pro každouvýrokovou formuli ϕ platíϕ ∈ S ⇐⇒ ¬ϕ ∉ S.(∗)Z faktu (∗) a z konečné splnitelnosti množiny S dále dokažte:ϕ ∨ ψ ∈ S ⇐⇒ ϕ ∈ S nebo ψ ∈ Sϕ & ψ ∈ S ⇐⇒ ϕ ∈ S a ψ ∈ Sϕ → ψ ∈ S ⇐⇒ ϕ ∉ S nebo ψ ∈ S.Tyto vlastnosti dohromady s (∗) ukazují, že předpisv(ϕ) = 1 ⇐⇒ ϕ ∈ Skorektně definuje pravdivostní ohodnocení v. Ohodnocení v splňuje všechnyformule v T . Dokázali jsme, že každá konečně splnitelná množina formulíje splnitelná. Toto je jiný důkaz věty o kompaktnosti, než je uveden v [Š].1.2 Důkazový systém pro výrokovou logikuDůkaz z množiny předpokladů T ([Š 27]) je konečná posloupnost formulí taková,že každý člen ϕ je výrokovým axiomem nebo prvkem množiny T nebo některédva předchozí členy posloupnosti jsou tvaru ψ a ψ → ϕ. V posledním případěřekneme, že ϕ je z ψ a ψ → ϕ odvozena pravidlem modus ponens (MP). Formuleϕ je dokazatelná z předpokladů T , symbolicky T ⊢ ϕ, jestliže existuje důkazz předpokladů T , který má ϕ jako poslední (nebo některý) člen. Za výrokovýaxiom považujme každou formuli, která má jeden z následujících tvarů:A1: ϕ → (ψ → ϕ)A2: (ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → χ))A3*: (¬ϕ → ¬ψ) → ((¬ϕ → ψ) → ϕ)Za ϕ, ψ, χ mohou být voleny libovolné výrokové formule. Výrokových axiomůa tedy i dokazatelných formulí je tedy nekonečně mnoho. Hvězdička v A3*upozorňuje, že jsme přijali jiné schema než v [Š]. Je dobré si uvědomit, že tážlogika (v našem případě klasická logika) může mít více důkazových systémů (téžkalkulů), které se od sebe mohou lišit mnohem podstatněji, než jen záměnoujednoho schematu. Užitečný důkazový systém může být například založen napravidle rezoluce, které vlastně bylo použito v cvičení 9 předchozího paragrafu.Náš A3* je v [Š] (viz [Š 47]) označen A4. Výrokovým systémům založeným napravidle MP se říká fregovské. Kdybychom kromě implikace a negace považovaliza základní symboly i konjunkci a disjunkci, přijali bychom ještě tato schemata: