Matematicka logika

50 2 METAMATEMATIKA ARITMETIKY2.8.1 Definice. (1) teorie T je axiomatizovaná, je-li její množina axiomů ∆ 1množina (t.j. rekursivní). (2) Teorie T v jazyce aritmetiky je Σ 1 -korektní, je-likaždá uzavřená Σ 1 formule dokazatelná v T pravdivá v N.2.8.2 Poznámka. Je-li T axiomatizovaná, pak množina všech důkazů v teoriiT je ∆ 1 množina; množina všech formulí dokazatelných v T je zřejmě Σ 1množina.2.8.3 Definice. Nechť T je axomatizovaná a nechť π(x) je nějaká Σ 1 definicemnožiny všech formulí dokazatelných v T . Formule ν splňující Q ⊢ ν ≡ ¬π(ν)(existující dle diagonálního lemmatu) se nazývá Gödelova formule pro T . (ν říká“já jsem nedokazatelná”.)2.8.4 Věta. (první Gödelova věta o neúplnosti).Nechť T je axiomatizovaná teorie v jazyce aritmetiky obsahující Q a Σ 1 -korektní.Pak T je neúplná; Gödelova formule není ani dokazatelná ani vyvratitelná.Důkaz. Nechť T ⊢ ν, pak N |= π(ν) (neboť π definuje dokazatelné formule),tedy T ⊢ π(ν) díky Σ 1 -úplnosti, tedy T ⊢ ¬ν a T je sporná. Tedy T nedokazujeν.Nechť T ⊢ ¬ν, tedy T ⊢ π(ν) (dle definice Gödelovy formule), tedy N |= π(ν)díky Σ 1 -korektnosti, tedy T ⊢ ν a T je sporné. Tedy T nedokazuje ¬ν.Poznámka. Všimněte si, že předpoklad Σ 1 -korektnosti není potřeba k důkazunedokazatelnosti formule ν.2.8.5 Definice. Buď T ⊇ Q axiomatizovaná teorie, buď (∃u)β(x, u) Σ 1 -definicemnožiny všech formulí dokazatelných v T a (∃u)γ(x, u) Σ 1 -definice množinyvšech formulí vyvratitelných v T (t.j. všech ϕ takových, že T ⊢ ¬ϕ; zřejmě tatomnožina je Σ 1 ). Formule β, γ jsou omezené. Rosserova formule ρ je formulesplňujícíQ ⊢ ρ ≡ (∃u)(γ(ρ, u) & (∀v ≤ u)¬β(ρ, v))(říká: “existuje mé vyvrácení, pod nímž není žádné mé ověření”).existuje podle diagonálního lemmatu.Zřejmě ρ2.8.6 Věta (Rosserova). Je-li T bezesporná axiomatizovaná teorie obsahujícíQ, pak formule ρ není ani dokazatelná ani vyvratitelná v T .Důkaz. Nechť T ⊢ ρ; tedy existuje d takové, že N |= β(ρ, d). Tedy α ⊢β(ρ, d) z Σ 1 -úplnosti. Dokazujeme v T :Mějme u zaručené formulí ρ, t.j. takové, žeγ(ρ, u) & (∀v ≤ u)¬β(ρ, v).