Matematicka logika

1.1 Formule a sémantika výrokové logiky 7binárním kódování se atomy p 0 , p 1 , p 2 , . . . považují za zkratky slov p, p1, p10,p11, p101, . . . , při unárním za zkratky slov p, p|, p||, p|||, . . . , kde 0, 1resp. | jsou pomocné znaky přijaté do základní abecedy Σ právě pro kódováníindexů. Někdy (zejména v příští kapitole v souvislosti s tzv. polskou notací) jeužitečná úmluva, že indexy se zapisují dopředu (např. 101p).Vraťme se ještě k tabulkové metodě a k problému splnitelnosti výrokovýchformulí. Tento problém chápaný jako formální jazyk (tj. jako množina slov v nějakékonečné abecedě) se označuje SAT. Tabulková metoda není příliš efektivnímalgoritmem pro řešení úlohy SAT. K rozhodnutí o splnitelnosti formule s n atomy(jejíž délka může být řádově také jen n) je totiž třeba probrat 2 n pravdivostníchohodnocení. Je to tedy algoritmus, který pracuje v exponenciálním čase. Neníznámo, zda úloha SAT má účinnější algoritmus, který by například pracovalv polynomiálním čase. SAT je jednou z referenčních úloh v teorii výpočtové složitosti.Řečeno odbornými termíny, je to NP-úplná úloha. Existence efektivníhoalgoritmu pro její řešení by znamenala existenci efektivního algoritmu pro řešenímnoha jiných úloh a otázka, zda takový algoritmus existuje, je jedním z důležitýchotevřených problémů soudobé informatiky. Poznamenejme, že úloha SATje NP-úplná jak při binárním tak při unárním zapisování výrokových atomů.V celém textu se zabýváme jen klasickou logikou, přičemž tento a příští paragrafjsou věnovány jejímu výrokovému počtu. Sémantika klasické logiky jezaložena na pojmu (dvouhodnotového) pravdivostního ohodnocení. Jiné, neklasické,logiky zpravidla také mají nějakou sémantiku, která umožňuje odlišitlogicky platné formule (tj. pravdivé jen díky svému syntaktickému tvaru) od těchostatních. Ne vždy je to sémantika založená na dvou pravdivostních hodnotách.Jedno z cvičení příštího paragrafu naznačuje, jak může vypadat sémantika neklasickýchlogik. Existují i rozumné a aplikovatelné neklasické logiky, pro kteréneplatí věta o kompaktnosti. Výrokové počty známých neklasických logik jsouzpravidla rozhodnutelné. Některé rozhodovací úlohy, které se vyskytují v neklasickýchlogikách, jsou také, stejně jako úloha SAT, velmi zajímavé z hlediskavýpočtové složitosti.Cvičení1. Určete, které z následujících výrokových formulí jsou splnitelné a které jsoutautologie:((p → q) → q) → q¬p → ¬(p ∨ (p & q))¬p → ¬(p ∨ q) (p → (q ∨ r)) → (q ∨ (p → r))¬p → ¬(p & q) (p → q) → ((q → r) → (p → q))p → p & (p ∨ q)(p → q) & q → pp → p ∨ (p & q) ¬p → (p & q)(p → q) ∨ (q → p) ((p → q) → p) → p