Matematicka logika

2.6 Σ 1 -úplnost Robinsonovy aritmetiky 45použití kódování posloupností z předchozích paragrafů; výpočet je posloupnoststavů Turingova stroje, každý stav je dán jistou konečnou posloupností a každýstav, který není poslední, přechází do následujících tak, jak přikazuje stroj).Tedy n ∈ A, právě když existuje c, které je končícím výpočtem se vstupem n;to dává Σ 1 definici.Obráceně je třeba nejprve ukázat, že pro každou omezenou formuliϕ(x 1 , . . . x k ) existuje Turingův stroj T pracující s k-ticemi vstupních slov, kterýje totální (vždy se zastaví) a se vstupem m 1 , . . . m k se zastaví v přijímajícímstavu, právě když N |= ϕ(m 1 , . . . , m k ) (konstrukce stroje indukcí podle odvozeníformule ϕ). Je-li A definováno Σ 1 -formulí (∃x 2 )ϕ(x, x 2 ), kde ϕ je omezená, aje-li T stroj pro ϕ, pak z něj lze lehko sestrojit stroj T ′ , který pro vstup m 1postupně generuje m 2 = 0, 1, 2, . . . , pro každé m 2 ověří, zda platí ϕ(m 1 , m 2 )(užitím stroje T ); jakmile první takové m 2 najde, zastaví se.Tím jsme naskicovali důkaz věty 2.5.1. Nakonec uvedeme ještě jeden důsledeknaší věty. Připomeňme si abecedu Λ Ar jazyka aritmetiky; slova z Λ ∗ ar jsmeztotožnili s jistými čísly z množiny Seq ⊆ N. Chápeme-li X ⊆ Λ ∗ Ar jako množinuslov, je její rekursivní spočetnost (rekursivnost) definována pomocí Turingovýchstrojů, které pracují se slovy z Λ ∗ Ar . (Není nutné napřed zakódovat slovo z Λ∗ Arjako číslo a pak toto číslo kódovat jako slovo numerál.) Dostáváme toto:2.5.2 Věta. Nechť X ⊆ Λ ∗ Ar ⊆ N.(1) X je Σ 1 množina čísel, právě když X je rekursivně spočetná jakožtomnožina slov v abecedě Λ Ar .(2) X je ∆ 1 množina čísel, právě když X je rekursivní jakožto množina slovv abecedě Λ Ar .Stačí dokazovat (1) a implikace ⇐ se dokazuje analogicky jako ve větě 2.5.1(kódováním výpočtů). Obráceně je-li X Σ 1 množina čísel, víme, že X = {n |n ∈ X} je rekursivně spočetná, t.j. máme stroj, který pro vstup n zastaví, právěkdyž n ∈ X. Lze sestrojit jiný stroj T 0 , který pro vstup 〈s 0 , . . . , s k 〉 ∈ Λ ∗ Ar(chápaný jako slovo v abecedě Λ Ar ) sestrojí n takové, že n je kód posloupnosti〈s 0 , . . . , s k 〉; s tímto n pak zachází přesně stejně jako stroj T . Stroj T 0 prokazuje,že X jakožto množina slov v abecedě Λ Ar je rekursivně spočetná.Od čtenáře se tedy očekává porozumění větám 2.5.1, 2.5.2; důkazy jsme jennaskicovali. Pokud však jste již absolvoval(a) přednášku z teorie rekurse, budepro Vás hračkou důkazy vypracovat.Tímto paragrafem končí studium definovatelnosti aritmetickými formulemiv N; v dalších paragrafech se budeme zabývat teoriemi v jazyce aritmetiky(obsahujícími Robinsonovu aritmetiku Q).2.6 Σ 1 -úplnost Robinsonovy aritmetikyV tomto a následujících paragrafech se budeme zabývat Robinsonovou aritmetikouQ a jejími rozšířeními. Připomeňme axiomy: