Matematicka logika

51 Výroková a predikátová logikaV této části se pokusíme stručně navázat na skriptum P. Štěpánka [Š]. Odkazytvaru [Š 41], které se v této kapitole hojně vyskytují, udávají stránky v onomskriptu, na kterých je příslušná problematika podrobněji vyložena.1.1 Formule a sémantika výrokové logikyFormule výrokového počtu (výrokové formule) jsou sestaveny z výrokových atomů(též jen atomů, nebo v [Š] prvotních formulí) pomocí logických spojek (a závorek);[Š 22–23]. K označování formulí užíváme buď velká latinská písmena jakov [Š], nebo (raději) malá řecká písmena.Pravdivostní ohodnocení je libovolná funkce v : P → {0, 1}, kde P je množinavšech výrokových atomů. Pravdivostní tabulky logických spojek ([Š 24])jednoznačně určují rozšíření ¯v libovolného pravdivostního ohodnocení v, které jedefinované na množině všech výrokových formulí. V dalším nebudeme rozlišovatmezi pravdivostním ohodnocením v a jeho rozšířením ¯v na všechny formule,tj. pruh nad označením pravdivostního ohodnocení budeme vypouštět. Místov(ϕ) = 1 lze také psát v |= ϕ a říkat, že ϕ je splněna pravdivostním ohodnocenímv nebo že v splňuje ϕ.Formule ϕ (množina formulí T ) je splnitelná, jestliže existuje pravdivostníohodnocení v takové, že v(ϕ) = 1 (resp. v(ψ) = 1 pro každou ψ ∈ T ). Formule ϕje (výroková) tautologie, jestliže v(ϕ) = 1 pro každé pravdivostní ohodnocení v.Formule ϕ je (tautologickým) důsledkem množiny formulí T , jestliže ϕ je splněnakaždým pravdivostním ohodnocením, které splňuje všechny formule z T . Vztahdůsledku zapisujeme T |= ϕ, tedyT |= ϕ iff ∀v(∀ψ ∈ T (v(ψ) = 1) ⇒ v(ϕ) = 1).Zápis T |= ϕ lze také číst “ϕ vyplývá z T ”. O množině T v této souvislostimluvíme jako o množině předpokladů nebo o množině axiomů nebo jako o teorii.V tomto odstavci jsme symbol |= použili v jiném významu než v odstavcipředcházejícím v zápisu v |= ϕ. Vlevo od |= může opravdu stát buď pravdivostníohodnocení nebo množina formulí. V prvním případě |= označuje splněnost formulepři daném ohodnocení, v druhém případě se jedná o vztah důsledku. Kolizibychom se samozřejmě mohli vyhnout tak, že bychom symbol |= vyhradili jenpro vztah důsledku. Bylo by to ale možné jen ve výrokovém počtu. V predikátovémpočtu je použití symbolu |= ve dvojím významu natolik rozšířené, že jeasi měnit nelze.Formule je tautologie, právě když je důsledkem prázdné množiny axiomů.Místo “ϕ je tautologie” můžeme tedy psát ∅ |= ϕ, případně jen |= ϕ. MístoT ∪ {ψ 1 , . . , ψ n } |= ϕ píšeme jen T, ψ 1 , . . , ψ n |= ϕ. Zápisy {ψ} |= ϕ i ψ |= ϕ