Matematicka logika

1.1 Formule a sémantika výrokové logiky 9snad je tomu rozumět: formule ¬(p 0 →p 1 ) definuje funkci dvou proměnnýchzmíněnou výše). Dokažte, že každou boolovskou funkci definuje některá výrokováformule.Návod. Nejprve uvažujte funkce, které mají jen jednu hodnotu 1 a jinaksamé 0. Pak uvažujte disjunkce formulí definujících takové funkce.7. Disjunkce literálů se nazývá klauzule. Formule je v disjunktivním normálnímtvaru, je-li disjunkcí (několika, případně jen jedné) konjunkcí literálů.Formule je v konjunktivním normálním tvaru, je-li konjunkcí disjunkcí literálů,tj. je konjunkcí klauzulí. Použijte cvičení 6 k důkazu, že každá výrokováformule je ekvivalentní s formulí v disjunktivním normálním tvarua také s formulí v konjunktivním normálním tvaru ([Š 42]). Zdůvodněte,že splnitelnost formulí v disjunktivním normálním tvaru je rozhodnutelnáv polynomiálním čase.8. Není pravda, že každou výrokovou formuli lze algoritmem pracujícím v polynominálnímčase převést na ekvivalentní formuli v konjunktivním (nebodisjunktivním) normálním tvaru. Například o formuli(p 1 & q 1 ) ∨ (p 2 & q 2 ) ∨ . . ∨ (p n & q n )lze dokázat, že každá s ní ekvivalentní formule v konjunktivním normálnímtvaru má alespoň 2 n symbolů, takže každý algoritmus potřebuje na pouhýzápis výsledku větší než polynomiální počet kroků. Dokažte ale, že platítoto. Ke každé výrokové formuli ϕ lze v polynomiálním čase sestrojit formuliψ, která je v konjunktivním normálním tvaru, a je splnitelná, právěkdyž ψ je splnitelná (nelze samozřejmě požadovat, aby ϕ a ψ byly ekvivalentní).Navíc každá klauzule ve formuli ψ je nejvýše tříprvková.Návod. Každé podformuli A původní formule ϕ, včetně atomů a ϕ samotné,přiřaďte atom p A tak, že je-li A atomická, p A je A, jinak p A je nový atom(nevyskytující se ve ϕ a různý od ostatních p B ). Pro každou neatomickoupodformuli A formule ϕ tvaru B & C utvořte tři klauzule ¬p B ∨ ¬p C ∨ p A ,¬p A ∨ p B , ¬p A ∨ p C . Něco podobného navrhněte i pro ostatní možnosti,kterými může A být sestavena z B a C. Označte χ konjunkci všech taktoutvořených klauzulí. Na formuli χ se můžeme dívat jako na popis výpočtupravdivostní hodnoty formule ϕ. Ověřte, že ϕ je splnitelná, právě kdyžp ϕ &χ je splnitelná. Toto cvičení ukazuje, že pokud je problém splnitelnostivýrokových formulí NP-úplný, pak i problém splnitelnosti formulí v konjunktivnímnormálním tvaru, v němž každá klauzule má nejvýše tři literály(tento problém se označuje 3SAT), je také NP-úplný.9. Nechť výroková formule D je v konjunktivním normálním tvaru (viz cvičení7). Nechť p je libovolný výrokový atom formule D. Napišme D vetvaruC 1 & . . & C k & (A 1 ∨ p) & . . & (A n ∨ p) & (B 1 ∨ ¬p) & . . & (B m ∨ ¬p)