Matematicka logika

2.10 Epilog 57y · x = x · yz · (y + x) = z · y + z · x(z · y) · x = z · (y · x) ∀x∃y(x = y + y ∨ x = y + y + 1)y + x = x → y = 0 ∀x∀y∃u(u + x = y ∨ u + y = x)x ≤ y & y ≤ z → x ≤ zx ≤ xx ≤ y & y ≤ x → x = yx ≤ y ∨ y ≤ xx ≤ S(y) ≡ (x = S(y) ∨ x ≤ y)9. Dokažte, že je-li ϕ libovolná aritmetická formule, pak každá z následujícíchformulí je dokazatelná v PA∀u ≤ x∃vϕ(u, v) → ∃y∀u ≤ x∃v ≤ yϕ(u, v)∀x∀y(ϕ(x, y) & x ≠ 0 → ∃u∃v(ϕ(u, v) & v < y))→ (∃x∃yϕ(x, y) → ∃yϕ(0, y))ϕ(0, 0) & ∀x∀y(ϕ(x, y) → ϕ(x, S(y))) & ∀x(∀yϕ(x, y) → ϕ(S(x), 0))→ ∀x∀yϕ(x, y)10. Rozhodněte, zda platí: je-li x substituovatelná za v ve formuli ϕ, pak každáformule tvaruϕ v (0) & ∀x(ϕ v (x) → ϕ v (S(x))) → ∀xϕ v (x)je dokazatelná v PA.Návod. Celá formule může mít volné výskyty proměnné x.11. Rozhodněte, zda platí(a) Je-li ∃xϕ(x) aritmetická sentence taková, že PA ⊢ ∃xϕ(x), pak existuječíslo n takové, že PA ⊢ ϕ(n).(b) Je-li ∃xϕ(x) aritmetická sentence taková, že ϕ je omezená a PA ⊢∃xϕ(x), pak existuje číslo n takové, že PA ⊢ ϕ(n).Návod. V (a) vezměte omezenou formuli ψ(y), pro kterou platí N |= ∀yψ(y),ale PA ⊬ ∀yψ(y). Existenci takové sentence zaručuje první Gödelova věta.Dále uvažujte sentenci ∃x∀y(ψ(y) ∨ ¬ψ(x)).12. Rozhodněte, zda platí(a) Jsou-li ϕ, ψ aritmetické sentence takové, že PA ⊢ ϕ∨ψ, pak platí PA ⊢ ϕnebo PA ⊢ ψ.(b) Jsou-li ϕ, ψ aritmetické Σ 1 -sentence takové, že PA ⊢ ϕ ∨ ψ, pak platíPA ⊢ ϕ nebo PA ⊢ ψ.Návod k (b). Použijte Σ 1 -korektnost na disjunkci ϕ ∨ ψ a Σ-úplnost zvlášťna ϕ a na ψ.