Matematicka logika

1.2 Důkazový systém pro výrokovou logiku 152. Je-li v libovolné pravdivostní ohodnocení, pak ϕ v je ϕ pokud v(ϕ) = 1 a ϕ vje ¬ϕ v opačném případě. Schemata (c), (g), (h) cvičení 1 jsou dostatečnák důkazu tvrzení, že pro každou formuli ϕ neobsahující jiné atomy nežp 1 , . . , p n a pro každé pravdivostní ohodnocení v platíp v 1, . . , p v n ⊢ ϕ vNajděte podobná schemata i pro případ, že se za základní považují i spojky& a ∨ a dokažte je z axiomů A4–A7.3. Pravidlo substituce ϕ / ϕ p (χ) umožňuje z libovolné formule ϕ odvodit formuli,která z ní vznikne nahrazením všech výskytů některého atomu toutéž(libovolnou) formulí. Rozhodněte, zda pro kalkulus, který vznikne přidánímpravidla substituce ke kalkulu z tohoto paragrafu, platí věta o korektnostia věta o silné korektnosti.4. Dokažte, že množina všech tautologií je maximální bezesporná množinaformulí, která je uzavřená na pravidlo substituce.5. Představte si modifikovanou sémantiku výrokové logiky, ve které logickéspojky nemají dvouhodnotové, ale následující tříhodnotové tabulky:¬0 21 02 0→ 0 1 20 2 2 21 0 2 22 0 1 2Uvažujte výrokový logický systém s jediným pravidlem modus ponens as následujícími schematy axiomů:ϕ → (ψ → ϕ)(ϕ → (ψ → χ)) → ((ϕ → ψ) → (ϕ → χ))(ϕ → ψ) → ((ϕ → ¬ψ) → ¬ϕ)ϕ → (¬ϕ → ψ)Dokažte, že tento systém je korektní vůči uvedené sémantice v tom smyslu,že každá dokazatelná formule má při každém pravdivostním ohodnoceníhodnotu 2. Dokažte, že formule ¬¬p → p, (¬p → ¬q) → ((¬p → q) → p) a(¬p → ¬q) → (q → p) nejsou v tomto systému dokazatelné (protože existujepravdivostní ohodnocení, které jim dává jinou hodnotu než 2).6. Rozhodněte, které formule z cvičení 1 jsou dokazatelné v kalkulu z cvičení 5.Návod. Narozdíl od cvičení 1 je tentokrát asi výhodnější dokázat dřív (c)než (b) a dřív (f) než (e).