Matematicka logika

1.3 Predikátová logika 21Formule ∀xP (x), kde P je unární predikátový symbol, je dokazatelná z předpokladuP (x). V příkladu 5 jsme ale viděli, že není jeho důsledkem. Tento příkladzároveň ukazuje, proč je ve větě o dedukci nutný předpoklad o (neexistenci)volných proměnných, viz [Š 73].Větami o korektnosti se opět míní všechny tři implikace ⇒ v obou větách.Zmiňme se o implikaci ⇒ v (b). Když ∆ ⊢ ϕ, pak existuje důkaz ϕ 1 , . . , ϕ m (= ϕ)formule ϕ z předpokladů ∆. Dále se postupuje indukcí podle i ≤ m. Je ale nutnési uvědomit, jak přesně zní tvrzení, které dokazujeme indukcí. Každá ϕ i platív každé (nebo v dané) struktuře, v které platí všechny formule z ∆. Nepodařiloby se dokázat, že každá ϕ i je v dané struktuře splněna daným ohodnocenímproměnných (které splňuje všechny formule z ∆). To souvisí s rozdílem mezipravidly MP a GEN. Když ϕ i ϕ → ψ jsou splněny v M nějakým ohodnocenímproměnných e, pak i ψ je splněna tímtéž ohodnocením e. O pravidlu generalizacelze ale říci pouze, že když ψ je odvozena pravidlem GEN z ϕ a ϕ je v Msplněna každým ohodnocením, pak i ψ je v M splněna každým ohodnocenímproměnných.Doporučujeme čtenáři, aby si na tomto místě rozmyslel, že všechny vztahymezi podmínkami vět o kompaktnosti a úplnosti zmíněné v par. 1.2 platí i v predikátovémpočtu. To je samozřejmě něco jiného než vlastní důkaz věty o úplnosti.Ten je v [Š] na stranách 101–112.Podobně jako ve výrokovém počtu věty o kompaktnosti a úplnosti platí bezohledu na mohutnost jazyka. Chceme-li ale uvažovat o algoritmické rozhodnutelnosti,předpokládáme, že jazyk je nejvýše spočetný a že jsme přijali nějakoudohodu na téma nekonečná množina symbolů je vlastně nekonečnou množinoujednoduchých slov sestavených z konečně mnoha elementárnějších symbolů. Teorie“ze života” mají dost často dokonce konečný jazyk. Ale i v tom případě mámeco dělat s nekonečně mnoha symboly: už proměnných je nekonečně mnoho.V tomto paragrafu jsme viděli, že pojem struktura pro daný jazyk spolus ohodnocením proměnných hrají v sémantice predikátové logiky podobnou úlohujako pravdivostní ohodnocení ve výrokové logice. Rozdíl je v tom, že sémantikapredikátové logiky nedává žádný návod, jak sestrojit algoritmus, který by rozhodoval,zda formule je logicky platná nebo zda vyplývá z daných předpokladů.Bylo by třeba ověřit, že něco platí o všech strukturách, ale struktur je nekonečněmnoho a některé z nich mohou být nekonečné. Přesto takový algoritmus v některýchpřípadech, tj. pro některé jazyky nebo některé množiny předpokladů,(kupodivu) sestrojit lze. V jiných případech lze naopak dokázat, že takový algoritmusneexistuje. S ukázkami obojího se ještě setkáme.Máme-li konečnou strukturu M pro konečný jazyk, jejíž predikáty a operacejsou zadány tabulkami, pak ovšem lze snadno sestrojit algoritmus pro rozhodování,zda daná formule v M platí. Nebude to ale příliš efektivní algoritmus.Množina všech formulí platných v předem dané konečné struktuře M je totižskoro vždy (tj. za slabých předpokladů o struktuře M) PSPACE-úplným jazy-