Matematicka logika

2.3 Kódování posloupností čísel 39(4) Set(m), právě když buď m = 0 nebo existují m 1 , m 2 , k ≤ m taková, žem = (m 1 , m 2 ), m 1 = hull(k), k je největší číslo (pod m) takové, že k ∈ 0 m, aneexistuje m ′ < m takové, že (m 1 , m 2 ) ⊆ 0 (m 1 , m ′ 2).(5) Množina všech kódů konečných množin a relace a ∈ 0 m jsou ∆ 0 definovatelnév N.Důkaz. (1) Zajisté když a ∈ A pak 1 + (1 + a)m 1 dělí m 2 , kde code(A) =(m 1 , m 2 ), tedy a ∈ 0 code(A). Obráceně, když a ∈ 0 code(A), tedy a ≤ k a1 + (1 + a)m 1 dělí m 2 , pak existuje a i ∈ A takové, že 1 + (1 + a)m 1 je soudělnés 1 + (1 + a i )m 1 a tedy nutně a = a i díky lemmatu o nesoudělnosti.(2) Nechť code(A) = (m 1 , m 2 ), code(B) = (m 3 , m 4 ). Platí m 1 ≤ m 3 a m 2 ≤ m 4(přímo z definice code(A)) tedy (m 1 , m 2 ) ≤ (m 3 , m 4 ) (z definice párovací funkce).(3) podobně.(4) Je-li m = code(A), m = (m 1 , m 2 ), pak jsou zřejmě splněny uvedené podmínky.Obráceně, jsou-li m 1 , m 2 , k ≤ m čísla splňující ony podmínky a A jemnožina všech čísel j ≤ k takových, že j ∈ 0 m, pak code(A) = (m 1 , m ′ 2), kdem 2 = ∏ j∈A = (1 + (1 + j)m 1); tedy m ′ 2 ≤ m 2 a (m 1 , m 2 ) ⊆ 0 (m 1 , m ′ 2), takžem 2 = m ′ 2.(5) Víme již, že funkce hull je ∆ 0 . Ukázat, že ∈ 0 je ∆ 0 , je lehké:x ∈ 0 y ≡ Set(y) & (∃y 1 , y 2 , z ≤ y)(y = (y 1 , y 2 ) & y 1 = hull(z) && x ≤ z & (1 + (1 + x)y 1 ) | y 2 ).Fakt, že Set(x) je ∆ 0 , plyne bezprostředně z předchozího bodu (4).Nyní už je lehké zakódovat posloupnosti: posloupnost prvků a 0 , . . . , a n−1zakódujeme jako množinu dvojic (0, a 0 ), . . . , (n − 1, a n−1 ). Tedy:2.3.6 Definice. Seq je množina všech kódů konečných posloupností přirozenýchčísel, t.j. čísel tvaru code({(0, a 0 ), . . . , (n − 1, a n−1 )}) pro nějaké n a nějakouposloupnost a 0 , . . . , a n−1 . n je délka (kódu) posloupnosti {(0, a 0 ), . . . , (n −1, a n−1 )}; a i je její i-tý člen. Funkce lh(s), s ⌢ t, (s) i pro kódy posloupnostídefinujeme zřejmým apůsobem.2.3.7 Lemma. Množina Seq a funkce lh, s ⌢ t, (s) i jsou ∆ 0 definovatelnév N.Důkaz. s ∈ Seq znamená, že s je kód množiny a pro jisté n (které je ≤ s)každý prvek s je dvojice s prvním členem < n a pro každé i < n má s za prvekprávě jednu dvojici s druhým členem i:Seq(s) ≡ Set(s) & (∃x ≤ s)(∀y ∈ 0 s)(∃u < x)(∃v < y)(y = (u, v)) & (∀u