Matematicka logika

2.8 Gödelovy věty o neúplnosti, Rosserova věta 51Je tedy u ≤ d, tedy (∃u ≤ d)γ(ρ, u), tedy γ(ρ, 0) ∨ . . . ∨ γ(ρ, d). Zjistilijsme T ⊢ ∧ e≤dγ(ρ, e); ale z bezespornosti teorie T plyne, že T nedokazuje ¬ρ,t.j.∧N |= ¬γ(ρ, e) pro libovolné e, tedy T ⊢ ¬γ(ρ, e) z Σ 1 -úplnosti, tedy T ⊢¬γ(ρ, e), tedy T je sporná, což je spor. Tedy T nedokazuje ρ.e≤dZa druhé nechť T ⊢ ¬ρ, tedy T ⊢ (∀u)(γ(ρ, u) → (∃v ≤ u)β(ρ, v)). PřitomN |= γ(ρ, d) pro nějaké d (neboť ρ je vyvratitelné), tedy T ⊢ γ(ρ, d) z Σ 1 -korektnosti,tedy T ⊢ (∃v ≤ d)β(ρ, v), tedy T ⊢ ∧ e≤dβ(ρ, e); ale T nedokazuje ρ,tedy N |= ¬β(ρ, e) pro e ≤ d, tedy T ⊢ ∧ e≤d¬β(ρ, e), což je spor v T ; tedy Tnedokazuje ¬ρ.Tím jsme ukončili důkaz Rosserovy věty. Gödelova první věta o neúplnostimá pozoruhodný důsledek (kterého si byl vědom už Gödel, říká se mu druháGödelova věta o neúplnosti), který v podstatě říká, že žádná “rozumná” aritmetikanemůže dokázat svou vlastní bezespornost. To je pozoruhodný výsledek;pokud se dohodneme, že finitní prostředky jsou formalizovatelné v PA, pak tvrzení,že PA nedokazuje svou bezespornost, znamená, že bezespornost aritmetikynelze dokázat finitními prostředky. Do filosofických diskusí se nebudeme pouštět;definujeme nejprve, jak se bezespornost nějaké teorie vyjádří v ní samé.2.8.7 Definice. Buď T -axiomatizovaná teorie v jazyce aritmetiky obsahujícíQ, nechť π(x) je Σ 1 formule definující v N množinu všech formulí dokazatelnýchv T . Pak Con π značí formuli ¬π(0 = 1).Formule Con π říká, že formule 0 = 1 (vyvratitelná v T ) není dokazatelnáv T , přesněji: N |= Con π , právě když formule 0 = 1 není dokazatená v T .Jde o to, zda T může dokázat Con π . K důkazu, že nemůže, potřebujeme dalšípředpoklady o formuli π.2.8.8 Definice. Buď T, π jako výše. Hilbert-Bernaysovy podmínky dokazatelnostijsou následující podmínky (1)-(3) (pro každé ϕ, ψ)(1) Když T ⊢ ϕ, pak T ⊢ π(ϕ),(2) T ⊢ π(ϕ) → π(π(ϕ)),(3) T ⊢ π(ϕ → ψ) → (π(ϕ) → π(ψ)).Poznámka. Podmínka (1) je za našich předpokladů splněna, je-li T Σ 1 -korektní.Je-li T ⊢ ϕ, pak N |= π(ϕ) (neboť π definuje v N množinu čísel formulídokazatelných v T ) a π je Σ 1 -formule, tudíž dostáváme T ⊢ π(ϕ). Podmínky(2) a (3) jsou jemné podmínky na zvolenou definici π: (2) vyjadřuje formalizovanouΣ 1 -korektnost, (3) vyjadřuje uzavřenost množiny dokazatelných formulína modus ponens. (Pozor: formule z (2),(3) jsou pravdivé v N; podmínky všakvyžadují, že jsou tyto formule dokazatelné v T . (Lze sestrojit protipříklady.)