Matematicka logika

2.2 Aritmetická hierarchie formulí 33složený výraz vznikne slepením operace o (což je slovo) s s 0 , s 1 . . . s n−1 . (Např.A( → , 1p, 10p) = → 1p10p atd.) E nechť je nejmenší část Λ ∗ obsahující At auzavřená na A; zbývá ověřit jednoznačnost rozkladu složených výrazů. K tomudvě lemmata.Lemma A. Žádný výraz není vlastním počátečním úsekem jiného výrazu.Důkaz. Nechť e ′ je nejkratší výraz, pro nějž existuje výraz e, který je jehovlastním počátečním úsekem. Zřejmě e ′ není atom, jinak by e měl za počátečníúsek jiný atom nebo operaci, což nelze; tedy e i e ′ začínají operací, a to nutněstejnou (jinak by jedna operace byla počátečním úsekem jiné operace.) Je tedye = o ⌢ s ⌢ 0 . . . ⌢ s m−1 , e ′ = o ⌢ t ⌢ 0 . . . t m−1 ; nechť j je první index takový, žes j ≠ t j . Pak s ⌢ j . . . ⌢ s m−1 ⊆ p t ⌢ j . . . ⌢ t m−1 a buďto s j ⊆ p t j nebo t j ⊆ p s j ;což je spor, neboť s j i t j jsou slova kratší než e a jedno je vlastním počátečnímúsekem druhého.Lemma B. Jestliže výrazy e = A(o 1 , 〈s 0 , . . . s m−1 〉), e ′ = A(o 2 , 〈t 0 , . . . , t n−1 〉)se rovnají, pak o 1 = o 2 , m = n a s i = t i pro i = 0, . . . , m − 1.Důkaz. Zřejmě o 1 = o 2 , nechť jsou to počáteční úseky slova e = e ′ , tedyo 1 ⊆ p o 2 nebo o 2 ⊆ p o 1 , čili o 1 = o 2 (z podmínky na operace jako slova). Tedym = n = Ar(o 1 ) = Ar(o 2 ) a s ⌢ 0 . . . ⌢ s m−1 = t ⌢ 0 . . . ⌢ t m−1 . Buď j první takové,že s j ≠ t j ; pak buď s j je vlastní počáteční úsek t j nebo naopak, což je spors Lemmatem A. Tedy odpovídající slova s j , t j jsou si rovna.Poznámka. (1) Zcela stejně se ukáže, že je-li s slovo vzniklé slepením výrazůe 0 , . . . , e m−1 , pak s jednoznačně určuje m a e 0 , . . . , e m−1 .(2) Zajisté popsaná konstrukce není jediná možná; brzy popíšeme strukturu výrazůvyrobenou z přirozených čísel. Ovšem každé dvě struktury výrazů téhožtypu jsou ve zřejmém smyslu izomorfní.(3) Termy a formule jazyka aritmetiky můžeme tedy chápat stejně jako slovav abecedě =, ≤, +, ∗, S, ¯0, → , ∀, x, 0, 1; proměnné x n se representují pomocí x,0, 1 podobně jako výrokové proměnné výše. (Pozor: ¯0 je konstanta jazyka, 0a 1 jsou pomocné symboly.) Máme-li už definovány termy a atomické formule,definujeme formule užitím operací → , ¬ a nekonečně mnoho unárních operacíodpovídajících kvantifikaci proměnné x n .)2.2 Aritmetická hierarchie formulíZahajujeme systematické studium formulí jazyka aritmetiky a množin, relacía funkcí definovaných těmito formulemi ve standardním modelu N. Výkladse opírá o úvodní kapitolu monografie P.Hájek - P.Pudlák: Metamathematicsof first-order aritmetic. Nejprve vybudujeme jistou hierarchii formulí (a jimidefinovaných množin); později uvidíme, že tato hierarchie je úzce svázána s teoriírekurse. Vyjdeme z formulí, kterým budeme říkat omezené.2.2.1 Definice Buď ϕ formule, x, y dvě různé proměnné. (∀x ≤ y)ϕ jezkratka za formuli (∀x)(x ≤ y → ϕ), (∃x ≤ y)ϕ je zkratka za (∃x)(x ≤ y & ϕ).