Matematicka logika

2.4 Aritmetizace syntaxe 43Pozor: Je jasné, jak se tvoří formule; znovu upozorňuji čtenáře, že nyní všejsou přirozená čísla (jako kódy všeho).2.4.7 Věta. Následující množiny, relace, funkce jsou ∆ 1 v N:(1) Množina Atterm všech atomických termů, množina T erm všech termů.(2) Množina Atfl všech atomických formulí, množina F l všech formulí.(3) Relace “proměnná u se vyskytuje v termu t”.(4) Relace “proměnná u se vyskytuje volně (vázaně) ve formuli ϕ”.(5) Relace “term t je substituovatelný za proměnnou u ve formuli ϕ”.(6) Funkce Subst o (t, u, t ′ ) přiřazující každému termu t, proměnné u a termut ′ výsledky substituce termu t ′ za proměnnou u v t.(7) Funkce Subst(ϕ, u, t) přiřazující každé formuli ϕ, proměnné u a termu tvýsledek substituce termu t za volné výskyty proměnné u.(8) Množina logických axiomů v jazyce aritmetiky.(9) Množina důkazů v predikátovém počtu (v jazyce aritmetiky).(10) Je-li T axiomatika v jazyce aritmetiky (množina formulí) a je-li T ∆ 1v N, pak i množina důkazů v teorii T je ∆ 1 v N.Důkaz. (1)-(2) jsou zřejmé z předchozího; (3) je lehké: proměnná u se vyskytujev t, jestliže t se dá pro jistá slova v, w psát jako v ⌢ u ⌢ w), kde ⌢ je operacejuxtapozice, přičemž v nekončí žádným ze symbolů 0,1 (tj. u není koncovýmúsekem jiné proměnné, která je podslovem t ve stejném kontextu). Rozebereme(6); (4)-(5),(7) se dokazuje podobně. Užijeme pojmu odvození formule (jakožtovýrazu); zřejmě “být odvozením formule ϕ” je ∆ 1 v N. Ukážeme, že funkceSubst 0 (t, u, t ′ ) je Σ 1 v N: t ′′ = Subst 0 (t, u, t ′ ), právě když existuje odvození stermu t a posloupnost ŝ téže délky jako s taková, že pro i = 0, . . . , lh(s) − 1 [je(ŝ) i = Subst o ((s) i , u, t ′ ), t.j. ]: je-li (s) i proměnná u, je (ŝ) i = t ′ ; je-li (s) i jináproměnná, je (ŝ) i = (s) i ; je-li (s) i term vznikající aplikací funkčního symbolu +na (s) j , (s) k pro nějaké j, k < i (t.j. (ŝ) i = 〈7〉⌢(s) ⌢ j (s) k, neboť 7 kóduje +),pak (ŝ) i = 〈7〉⌢(ŝ) i ; ⌢(ŝ) k , t.j. (ŝ) i vzniká aplikací symbolu + na (ŝ) j , (ŝ) k .Podobně pro funkční symboly S, ∗. Když napíšete formální definici, bude míttvar(∃s, ŝ)[(s odvození ¯t, lh(ŝ) = lh(s)),(∀z < lh(s))(podmínka na (ŝ) z , (s) z ) & (ŝ) lh(s)−1 = ¯t)kde formule za (∃s, ŝ) je ∆ 1 , t.j. celá formule je Σ 1 v N. Zbytek plyne z 2.2.7(1).Zmiňme ještě (9). Posloupnost s ∈ Seq je důkazem (v predikátovém počtu),právě kdyžN |= Seq(¯s) & (∀z < lh(¯s))(LogAx((¯s z ) ∨∨ (∃z 1 , z 2 < z)(DED((s) z1 , (s) z2 , (s) z )),kde LogAx je formule (∆ 1 v N) definující logické axiomy a DED(u, v, w) říká, žew vzniká z u, v podle pravidla modus ponens, t.j. v je implikace s levým členemu a pravým členem w, t.j. v = A(〈4〉, 〈u, v〉) (4 kóduje implikaci), nebo podobněpro generalizaci.