Matematicka logika

1.3 Predikátová logika 19kompaktnost považujeme za sémantický princip. Sémantický v tom smyslu, žeznění se netýká pojmu formální důkaz.Obraťme se nyní k úkolu charakterizovat logickou platnost a vyplývání pomocívhodného důkazového kalkulu. V jeho konstrukci se uplatňuje substitucetermů za proměnné. Současnou substituci termů t 1 , . . , t n za proměnné x 1 , . . , x ndo termu s nebo do formule ϕ značíme s x1 ,..,x n(t 1 , . . , t n ) resp. ϕ x1 ,..,x n(t 1 , . . , t n ).Substituuje se jen za volné proměnné a to vždy za všechny výskyty. Ne každýterm je substituovatelný za libovolnou proměnnou do libovolné formule, viz[Š 60–61]. Za ilustrativní považujeme také příklad [Š 69], který ukazuje, žeϕ x,y (t, s) nemusí být totéž, co (ϕ x (t)) y(s).Důkazový systém pro predikátovou logiku je dán logickými axiomy a odvozovacímipravidly. My se zabýváme důkazovým systémem, který vznikne přidánímaxiomů a pravidel o kvantifikátorech k výrokovému systému se schematy A1–A3resp. A1–A7 a s pravidlem modus ponens ϕ, ϕ → ψ / ψ, viz par. 1.2. Všechnaschemata z par. 1.2 ovšem chápeme tak, že za ϕ, ψ resp. χ lze dosadit libovolnépredikátové formule. Dokazatelnost z množiny předpokladů je definována stejnějako v 1.2. Jako kvantifikátorová pravidla a axiomy přijměme následující dvojiciB1: ∀xϕ → ϕ x (t) , pokud t je substituovatelný za x ve ϕGEN: ψ → ϕ / ψ → ∀xϕ , pokud x není volná ve ψTéto dvojici říkáme axiom specifikace (nebo konkretizace) a pravidlo generalizace.Místo nich by také šlo přijmout následující trojici s jednodušším pravidlemgeneralizaceB1: ∀xϕ → ϕ x (t) , pokud t . . . (jako výše) . . .B2: ∀x(ψ → ϕ) → (ψ → ∀xϕ) , pokud x není volná ve ψGEN*: ϕ / ∀xϕSnadno lze ukázat, že obě verze jsou ekvivalentní v tom smyslu, že z nich lze dokázatstejné formule. Zdůvodněme na ukázku, že schema B2 lze dokázat v systémus B1 a GEN. Podle věty o dedukci stačí dokázat formuli ψ → ∀xϕ z předpokladu∀x(ψ → ϕ), pokud se podaří splnit podmínku (viz [Š 73–74]), že v důkazu nepoužijemegeneralizaci na žádnou proměnnou volnou v předpokladu ∀x(ψ → ϕ).Nevadí ale použít generalizaci na proměnnou x. Takže pojďme na to:∀x(ψ → ϕ) ⊢ ∀x(ψ → ϕ) → (ψ → ϕ)∀x(ψ → ϕ) ⊢ ψ → ϕ∀x(ψ → ϕ) ⊢ ψ → ∀xϕ; B1. x je totiž substituo-; vatelná sama za sebe; MP; GEN, x není volná v ψKvantifikátor ∃x můžeme považovat za zkratku zápisu ¬∀x¬. Kdybychom toudělat nechtěli, přijali bychom axiom