Matematicka logika

52 2 METAMATEMATIKA ARITMETIKY2.8.9 Lemma. Nechť T, π jsou jako v 2.8.7 a nechť T, π splňují podmínkydokazatelnosti. Pak pro každou uzavřenou formuli ϕ platíT ⊢ Con π ≡ (¬π(ϕ) ∨ ¬π(¬ϕ)).(Čteme: teorie definovaná formulí π je bezesporná, právě když buď ϕ nebo ¬ϕje nedokazatelná.)Důkaz. Platí T ⊢ ϕ → (¬ϕ → 0 = 1), tedy T ⊢ π(ϕ → (¬ϕ → 0 = 1),tedy T ⊢ π(ϕ) → (π(¬ϕ) → π(0 = 1) (dle podmínky (3)), tedy T ⊢ π(ϕ &π(¬ϕ) → ¬Con π .Obráceně platí T ⊢ ¬(0 = 1), t.j. T ⊢ π(¬(0 = 1)), a též T ⊢ π(¬0 = 1) →(π(0 = 1) → π(ϕ) & π(¬ϕ)) (neboť T ⊢ π(¬(0 = 1) → (0 = 1 → ϕ)) a podobněs (¬ϕ) místo ϕ). Tedy T ⊢ ¬Con π → π(ϕ) & π(¬ϕ). Tím je důkazproveden.2.8.10 Věta. Je-li T axiomatizovaná teorie v jazyce aritmetiky obsahujícíQ a je-li π Σ 1 -formule definující v N množinu všech formulí dokazatelných v T ,a platí-li podmínky dokazatelnosti pro T, ϕ, pakT ⊢ Con π ≡ ν,kde ν je Gödelova formule (viz výše). Je-li tedy T bezesporná, pak formule Con πje nedokazatelná v T . (To je druhá Gödelova věta o neúplnosti.)Důkaz. Jest T ⊢ ν → ¬π(ν) (z definice ν), tedy dle předchozího lemmatuT ⊢ ν → Con π . Obráceně jest T ⊢ ¬ν → π(ν), dále T ⊢ π(ν) → π(π(ν))(podmínka (2)); také T ⊢ π(ν) → ¬ν, tedy T ⊢ π(π(ν)) → π(¬ν), tedy mámeT ⊢ ¬ν → π(ν), T ⊢ ¬ν → π(¬ν),T ⊢ ¬ν → π(ν) & π(¬ν),T ⊢ ¬ν → ¬Con π .Celkem T ⊢ ν ≡ Con π .Je-li T bezesporná, pak T nedokazuje ν (v důkazu 1. Gödelovy věty jsme upozornili,že pro nedokazatelnost formule ν stačí bezespornost, není třeba Σ 1 -korektnost);tedy T nedokazuje Con π .2.9 Nerozhodnutelnost aritmetikyVíme, že je-li teorie T v jazyce aritmetiky (množina axiomů) Σ 1 (zejména je-li∆ 1 nebo ∆ 0 ), pak množina všech formulí dokazatelných v T je Σ 1 , jinými slovy:je-li T rekursivně axiomatizovaná teorie, je množina P r T formulí dokazatelnýchv T rekursivně spočetná. Ukážeme, že je-li T bezesporná, pak množina P r Tnení rekursivní (není ∆ 1 ). tedy neexistuje algoritmus, který pro každou formuliϕ rozhodne, zda ϕ je či není dokazatelná.