Matematicka logika

2.8 Gödelovy věty o neúplnosti, Rosserova věta 49Q ⊢ ϕ(m, k, q) & (∀v, n ≤ q)(v ≠ k → ¬ϕ(m, v, w)), (*)tedyQ ⊢ y = F (m) → α(m, y).Obráceně, nechť m, k, q jsou jako výše a v Q předpokládejmey ≠ F (m) & α(m, y); chceme odvodit spor. Dokazujeme v Q. α(m, y) znamená(∃z ≥ y)(ϕ(m, y, z) & (∀r, w ≤ z)(r ≠ y → ¬ϕ(m, v, w)). (**)Zvolme takové z a rozlišme dva případy:Případ 1. z ≤ q - pak ϕ(m, y, z) je ve sporu s (*);Případ 2. q ≤ z - pak ϕ(m, k, q) je ve sporu s (**).Tím je lemma dokázáno.2.7.2 Diagonální lemma. (1) Neparametrická verse. Nechť ϕ(x) je formulearitmetiky s jednou volnou proměnnou x. Pak existuje uzavřená formule ψtaková, žeQ ⊢ ψ ≡ ϕ(ψ).(2) Parametrická verse. Nechť ϕ(x, z) je formule aritmetiky se dvěma volnýmiproměnnými x, z. Pak existuje formule ψ(z) taková, že pro každé k ∈ NQ ⊢ ψ(k) ≡ ϕ((ψ(k), k).Důkaz. Dokážeme jen (1). Nechť ϕ(x) je dáno. Vyšetřujeme funkci Fpřiřazující každé formuli δ(x) s jednou volnou proměnnou uzavřenou formuliδ(δ) (t.j. Subst(δ, x, δ)). Tato funkce je zřejmě Σ 1 definovatelná v N (δ(x) i δ(δ)jsou čísla!), tedy dle předchozího lemmatu existuje formule α(x, y) taková, žeQ ⊢ α(δ, y) ≡ y = F (δ)pro každé δ (formuli s jednoiu volnou proměnnou). Položmeχ(x) ≡ (∃v)(α(x, v) & ϕ(v))a ψ ≡ F (χ) (t.j. ψ je Subst(χ, x, χ)). Pak Q dokazuje následující ekvivalence:ψ ≡ χ(χ) ≡ (∃v)(α(χ, v) & ϕ(v)) ≡ (∃v)(v = F (χ) & ϕ(v)) ≡ ϕ(F (χ)) ≡ϕ(χ(χ)) ≡ ϕ(ψ).Tím je lemma dokázáno. (Důkaz části (2) lze nalézt v citované monografiiHájka a Pudláka.)2.8 Gödelovy věty o neúplnosti, Rosserova větaToto je centrální paragraf; zde dokážeme věty, které v třicátých letech tohotostoletí radikálně změnily představy o tom, co je matematická logika a ukázalymimo jiné, že pravdu o přirozených číslech nelze úplně postihnout žádnou teorií,která má rekursivní axiomatiku (formulujeme to přesněji a obecněji).