Matematicka logika

1.2 Důkazový systém pro výrokovou logiku 13schematu ψ → (¬ψ → ϕ) plyne, že T je sporná, právě když každá formule je v Tdokazatelná, [Š 36].Abychom zdůvodnili důležitost toho, co přijde dále, uveďme dvě otázky, nakteré by nebylo snadné odpovědět bez vět o korektnosti a úplnosti.1. Je prázdná množina bezesporná?2. Je množina všech formulí dokazatelných z prázdné množiny předpokladů algoritmickyrozhodnutelná?Věta 1.2 (o úplnosti, [Š 34]) Formule ϕ je dokazatelná z prázdné množinypředpokladů, právě když je tautologií.Věta 1.3 (o silné úplnosti, [Š 37]) (a) Je-li T libovolná množina formulí,pak T je splnitelná, právě když T je bezesporná.(b) Je-li ϕ libovolná formule a T množina předpokladů, pakT ⊢ ϕ, právě když T |= ϕ.Implikacím ⇒ v obou větách se říká věty o korektnosti. Zdůrazněme, že právěvěty o korektnosti jsou důležitým nástrojem, chceme-li dokázat, že nějaká formulenení dokazatelná nebo že nějaká množina je bezesporná. Cvičení 4 ukazujepoužití věty o korektnosti na kalkulus, o kterém nevíme, jestli je úplný vůči danésémantice. Čtenář by neměl mít problémy s ověřením následujících faktů:• T ⊢ ϕ, právě když T, ¬ϕ je sporná• obě formulace (a), (b) ve větě o silné úplnosti jsou ekvivalentní• z úplnosti vyplývá “silná úplnost” pro konečnou množinu T (protože místoT ⊢ ϕ a T |= ϕ lze psát ⊢ &T → ϕ resp. |= &T → ϕ, kde &T je konjunkcevšech formulí v T )• z korektnosti vyplývá silná korektnost (protože v důkazu ϕ z T se beztakuplatní jen konečně mnoho prvků z T )• ze silné úplnosti vyplývá kompaktnost (ze stejného důvodu)• z úplnosti a kompaktnosti vyplývá silná úplnost .Obtížnější důkaz má jen implikace ⇐ ve větě o úplnosti. Tuto implikaci lzepro náš kalkulus dokázat stejným postupem, který je v [Š] na stranách 33–35pro kalkulus se schematy A1–A3. Formule v cvičení 1 nejsou vybrány náhodně.Formule v (i) je jen jinou formulací lemmatu 2, [Š 33], a ostatní formule postačujík důkazu lemmatu 3.Samotná definice důkazu nedává žádný návod k sestrojení algoritmu, kterýby rozhodoval, zda daná formule je dokazatelná. Pravidlo modus ponens má