Matematicka logika

54 2 METAMATEMATIKA ARITMETIKYdvojí pojem pravdivosti: tautologičnost (pravdivost při všech evaluacích resp.ve všech modelech) a na druhé straně pravdivost v jednom konkrétním modelu.Pro aritmetiky (teorie v jazyce aritmetiky) nás velice zajímala pravdivost vestandardním modelu N. Je pravdivost ekvivalentní dokazatelnosti? Na to jsoudvě odpovědi: pokud pravdivost znamená tautologičnost (pravdivost ve všechmodelech), pak odpověď je ANO: to je věta o úplnosti, analogicky i silná větao úplnosti (pro teorii a všechny její modely). Pokud však pracujeme s libovolnouaxiomatizovanou teorií T v jazyce aritmetiky, jejímž jedním modelem je N(t.j. každá formule dokazatelná v T je pravdivá v N) a “pravdivost” znamená“pravdivost v N”, pak odpověď je NE: T není úplná (dle 1. Gödelovy věty oneúplnosti), existuje formule ν pravdivá v N a nedokazatelná v T . Přidáte-li νk T , dostanete jinou teorii T ′ a jinou ν ′ pravdivou v N a nedokazatelnou v T ′ .To lze iterovat, dokonce transfinitně (to však už je delikátní věc). Hlavní je toto:pravda v N není ekvivalentní dokazatelnosti v žádné axiomatizované teorii T .(2) Logika a informatika Jaké jsou vztahy logiky k informatice? Četné.Hned výrokový počet a jím dané booleovské funkce (zobrazení z {0, 1} n do {0, 1})mají uplatnění na hardwarové úrovni počítačů. Logika je podstatná v logickémprogramování (jazyk PROLOG). Teorie výpočetní složitosti (PNP problém apodobné) má velmi úzký vztah ke slabým aritmetikám, např. k teorii, kterávznikne z PA tím, že přijmeme jen axiomy indukce odpovídající omezeným formulím(omezená aritmetika). V umělé inteligenci jsou velmi užitečné neklasickélogiky, které se liší od výrokového (predikátového) počtu tím, že mají více pravdivostníchhodnot než dvě (fuzzy logiky) nebo tím, že užívají různé modality(✷ϕ znamená “nutně ϕ” a pod.), t.j. různé modální logiky, zejména v souvislostis usuzováním za nejistoty (logiky domnění). Je řada dalších souvislostí, třebalogiky programů a jiné. Logické systémy, které jsme vyložili, jsou základem všechtěchto logik.(3) Logika jako metamatematika Matematická logika je matematická disciplinastudující formalizované matematické teorie (např. PA). Studuje např.modely dané teorie a může dát důkazy bezespornosti nějaké teorie tím, že sestrojíjejí model (za nějakých předpokladů, třeba předpokladu, že jiná teorie mámodel). I zde má Gödel světoznámý výsledek (z r.1939): Ukázal, že z libovolnéhomodelu teorie množin lze sestrojit jiný model teorie množin (podmodel prvního),v němž platí axiom výběru; ukázal tak, že je-li teorie množin bezesporná, zůstanebezesporná i po přidání axiomu výběru (a též po přidání hypotézy kontinua, ita platí v jeho modelu). V r.1963 sestrojil P.J.Cohen jiný model, který ukázal,že na druhé straně lze k teorii množin přidat bezesporně negaci axiomu výběru,t.j. že axiom výběru je nedokazatelný v teorii množin (pokud ta je bezesporná).Teorie modelů teorie množin je nesmírně bohatá disciplina.