Matematicka logika

2.10 Epilog 532.9.1 Věta. Nechť T je bezesporná axiomatizovaná teorie v jazyce aritmetikyobsahující Q, nechť π(x) je Σ 1 formule definující v N množinu všech formulídokazatelných v T . Pak π(x) není ∆ 1 formule v N.Důkaz se opírá o následující lemma.2.9.2 Lemma. Je-li T bezesporná teorie v jazyce aritmetiky a množinaP r T všech formulí dokazatelných v T je ∆ 1 v N, pak existuje úplná bezespornáteorie ˆT taková, že množina ˆT je ∆ 1 v N.Důkaz spočívá v ověření, že klasická konstrukce bezesporného úplného rozšířeníbezesporné teorie (který je mj. součástí důkazu Gödelovy věty o úplnosti)dává k ∆ 1 teorii ∆ 1 rozšíření. Vskutku nechť F je ∆ 1 funkce, F : N → N, taková,že jejím oborem hodnot jsou všechny uzavřené formule. (Existence plynez toho, že množina všech uzavřených formulí je nekonečná ∆ 1 část množinyN.) Definujme G(0) = F (0), pokud T ⊢ F (0), jinak G(0) = ¬F (0); máme-liG(0), . . . , G(k), definujme G(k + 1) = F (k + 1), pokud (T, G(0), . . . , G(k)) ⊢F (k + 1), jinak G(k + 1) = ¬(F (k + 1)). Podle předpokladu, že P r T je ∆ 1 v N,je relace T, G(0), . . . , G(k) ⊢ F (k + 1) také ∆ 1 v N (věta o dedukci). FunkceG vzniká z F primitivní rekursí (přesněji, jistou variantou primitivní rekurse)a je tedy ∆ 1 podle věty 2.3.8; teorie ˆT = {G(k) | k ∈ N} je bezesporné úplnérozšíření teorie T (neboť pro každé k je teorie (T, G(0), . . . , G(k)) bezesporná dlekonstrukce). Teorie ˆT je Σ 1 v N.Nechť α(x, y) je ∆ 1 v N a definuje relaci “ϕ = F (k)”, nechť β(x, y) je ∆ 1v N a definuje relaci “ϕ = G(k)”. Pak pro každou uzavřenou formuli ϕ platí:ϕ ∈ ˆT , právě když N |= (∃x)(α(ϕ, x) & β(ϕ, x)) (t.j. v kroku k takovém, žeϕ = F (k), je ϕ = G(k)), t.j. ˆT je Σ 1 v N;ϕ /∈ ˆT právě když N |= (∃x)(α(ϕ, x) & β(ϕ, x))(t.j. v kroku k, pro nějž ϕ = F (k), je G(k) = (¬ϕ)).Tím je lemma dokázáno.2.9.3 Důkaz věty 2.9.2: Kdyby P r T bylo ∆ 1 v N, pak by T mělo úplnébezesporné rozšíření ˆT , které by bylo ∆ 1 v N. Takové rozšíření je však neúplnédle 1.Gödelovy věty o neúplnosti.2.10 EpilogPokud jste, vážená čtenářko a vážený čtenáři dočetl(a) tento text až sem a máteza sebou seriosní pokus o podrobné prostudování předloženého materiálu, ptátese patrně: na co to bylo? Co jsem se naučil(a)? V tomto závěrečném odstavcishrneme některé základní aspekty, které se Vám měly ozřejmit.(1) Pravdivost a dokazatelnost Definovali jsme dokazatelnost ve výrokovémpočtu, v predikátovém počtu, v axiomatických teoriích. Definovali jsme