Matematicka logika

1.3 Predikátová logika 17Tarského definice pravdy [Š 58] určuje pravdivostní hodnotu dané formulev dané struktuře při daném ohodnocení, tj. určuje, zda daná formule je nebonení splněna v dané struktuře při daném ohodnocení proměnných. Splněnostformule ϕ v M daným ohodnocením e se značí M |= ϕ[e]. Je-li ϕ splněna každýme, řekneme, že ϕ platí v M a píšeme M |= ϕ. V terminologii “platí–splněna”(ale nikoliv ve značení) jsme se poněkud odchýlili od skripta [Š 59]. Učinili jsmeto ve snaze uvést do souladu obraty “splněná formule” a “splnitelná formule”,a to ve výrokovém i v predikátovém počtu. Pravdivostní hodnota formule ϕ přiohodnocení e závisí jen na ohodnocení těch proměnných, které se ve ϕ vyskytujívolně. Tedy sentence je v nějaké struktuře splněna, právě když tam platí, a toje právě když její negace neplatí.Příklad 4 První formule z příkladu 1 je ve struktuře N splněna např. dvojicí[3, 15] (tj. ohodnocením proměnných, které proměnné x přiřazuje hodnotu 3 a yhodnotu 15). Ve struktuře R tato formule dokonce platí. Druhá formule platí vestruktuře R, v N platí její negace. Je-li ϕ libovolná formule v nějakém jazyce L,pak formule ∃y∀xϕ → ∀x∃yϕ platí v každé struktuře pro jazyk L.Se strukturou N přirozených čísel s obvyklými operacemi a relacemi se v našemtextu ještě mnohokrát setkáme. Nazýváme ji standardním modelem aritmetiky.Formule aritmetického jazyka umožňuje vyjádřit nejen obecná faktao číslech, jako třeba formule ∀x∀y(x + y = y + x), ale i fakta o konkrétníchpřirozených číslech, jako třeba formule∀x∀y(x · y = S(S(S(0))) → x = S(0) ∨ x = S(S(S(0)))) ,která vyjadřuje, že číslo tři je prvočíslo. Termům 0, S(0), S(S(0)), . . . říkámenumerály (někdy též cifry) a značíme je 0, 1, 2, . . . . Součástí Tarského definicepravdy je i definice hodnoty (realizace) t M [e] termu t ve struktuře M při ohodnoceníproměnných e. Numerály neobsahují proměnné (jsou to uzavřené termy)a jejich realizace nezávisejí na ohodnocení proměnných: realizací numerálu mve standardním modelu je číslo m, tedy m N = m. Každý prvek standardníhomodelu je realizací některého numerálu. Je důležité odlišit numerály od proměnných.Například x + y = z je jedna formule, která je nebo není splněna podletoho, jaké hodnoty přiřadí ohodnocení proměnných proměnným x, y, z. Naprotitomu n + m = k je schema, které zastupuje různé formule, jinou pro každoutrojici n, m, k. Každá z nich je ale sentencí a její pravdivost tedy nezávisí naohodnocení proměnných.Formule ϕ jazyka L je (logickým) důsledkem množiny formulí ∆ (ϕ vyplýváz ∆), jestliže v každé struktuře M pro jazyk L je ϕ splněna každým ohodnocenímproměnných, které v M splňuje všechny formule z ∆. Symbolicky:∆ |= ϕ iff ∀M∀e(M |= ∆[e] ⇒ M |= ϕ[e]).Jako ve výrokovém počtu, důsledek formule ψ je totéž, co důsledek množiny {ψ},a formule jsou (logicky) ekvivalentní, jestliže každá je důsledkem té druhé. Formule,která je důsledkem prázdné množiny (tj. platí v každé struktuře pro svůj