Matematicka logika

1.4 Teorie, vlastnosti teorií, příklady 27tedy nějaké modely M 1 a M 2 . Kdyby M 1 a M 2 byly izomorfní, musely byv nich platit stejné sentence, viz cvičení 9. Tedy M 1 a M 2 nejsou izomorfní.Přidáme-li navíc podmínku, že T nemá žádné konečné modely, můžeme díkyLöwenheim-Skolemově větě požadovat, aby M 1 a M 2 měly stejnou mohutnost.Tím jsme dokázali následující větu.Věta 1.7 (Vaughtův test) Nechť T má nejvýše spočetný jazyk, nemá žádnékonečné modely a je κ-kategorická pro některý nekonečný kardinál κ. Pak T jeúplná.Příklad 6 Teorie DNO nemá žádné konečné modely a je ℵ 0 -kategorická. Tedy jeúplná. Obraťme se nyní k teorii SUCC. Nechť 〈M, a, f〉 je libovolný model teorieSUCC. Tedy a ∈ M a f : M → M. Z platnosti axiomů plyne, že f je prostáfunkce a že pro její obor hodnot platí Rng(f) = M − {a}. Definujme na Mrelaci ∼ takto: x ∼ y, právě když některý prvek dvojice {x, y} je z druhéhodosažitelný konečně mnoha skoky funkce f. Relace ∼ je ekvivalence (cvičení:z platnosti kterého axiomu to plyne?) a každá třída rozkladu je nekonečná (cvičení:z platnosti kterého axiomu . . . ?). Třída rozkladu obsahující a je izomorfnís 〈N, 0, .+1〉, každá jiná třída je izomorfní se 〈Z, 0, .+1〉. Jiné třídy ovšem nemusíexistovat. Pokud ale celá množina M má nespočetnou mohutnost κ, existovatmusí a musí jich být κ. Rovnice ℵ 0 · x = κ má totiž v kardinální aritmetice pronespočetné κ jediné řešení x = κ. Model M má tedy jedinou možnou strukturu:κ na obě strany neomezených “řetízků” plus jeden “půlřetízek” obsahujícíprvek a. Z toho plyne, že každé dva modely teorie SUCC mohutnosti κ jsouspolu izomorfní. Dokázali jsme, že teorie SUCC je κ-kategorická pro každé nespočetnéκ. Dle Vaughtova testu je úplná. To například znamená, že modely〈N, 0, .+1〉 a N − + Z − se neliší platností žádné sentence a také, že schema IND −je v SUCC dokazatelné.Řekneme, že teorie T je rozhodnutelná, jestliže existuje algoritmus rozhodujícío dokazatelnosti formulí v T , tj. jestliže množina všech vět teorie T je rekurzivní.Příklad 7 Je-li M konečná struktura pro konečný jazyk, pak Th(M) je rozhodnutelnáteorie.Věta 1.8 Má-li teorie T rekurzivní množinu axiomů a je úplná, pak T je rozhodnutelná.Důkaz. Algoritmus P přijme vstupní sentenci ϕ a pak postupně probírá všechnaslova v příslušném abecedě a blíže se věnuje těm, která jsou důkazy v teorii T .K rozhodnutí, zda slovo je nebo není důkazem, potřebuje podprogram, kterýrozhoduje, zda daná formule je axiomem teorie T . Takový podprogram existujedíky podmínce, že T má rekurzivní množinu axiomů. Narazí-li P na důkazformule ϕ, řekne ANO, ϕ je dokazatelná. Narazí-li na důkaz formule ¬ϕ, řekneNE, ϕ není dokazatelná. V obou případech skončí.