Matematicka logika

58 2 METAMATEMATIKA ARITMETIKY13. Tvrzení, že každé sudé číslo větší než 3 je součtem dvou prvočísel, se nazýváGoldbachova domněnka a není o něm známo, zda je pravdivé. Dokažte, žeje-li toto tvrzení nezávislé na PA, pak platí v N.Návod. Určete pozici daného tvrzení v aritmetické klasifikaci formulí apoužijte Σ-úplnost.14. Dokažte, že model N − + Z − se nedá rozšířit (ani funkcí, která není definovatelná)na model teorie T h(〈N, +, 0, .+1〉).Návod. Vezměte nestandardní prvek a a uvažujte, zda a + a může býtv konečné vzdálenosti od a nebo od 0. Jedno z toho by nastat muselo.15. Nechť M je spočetný nestandardní model teorie PA. Uvažujte relaci ∼ jakov příkladu 6 paragrafu 1.4: a ∼ b právě když vzdálenost a a b je konečná.Dokažte, že když a 1 ∼ a 2 a b 1 ∼ b 2 , pak a 1 + b 1 ∼ a 2 + b 2 . Tedy ∼ jekongruence vůči sčítání. Je ∼ kongruentní i vůči násobení? Uvažujte dálejen uspořádání. Dokažte, že 〈M −{x; x ∼ 0},