A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

1. L’HOSPITALS REGEL OG UEGENTLIGE INTEGRALER 117
y
1√ t
t
y = 1
√ x
Uendelige værdier, endeligt areal
1.26. Uendelige funktioner ☞ [S] 5.10 Improper integrals
Eksempel (4)
Det uegentlige integral p = 1
1
0
1
dx = lim
xp t→0 +
= lim
t→0 +
1
t
1
1 − p
1
x
1
dx = lim
xp t→0 +
1
1 − p ·
1 − 1
tp−1
er konvergent for p < 1 med værdi
1
1 1
dx =
xp p − 1
og divergent for p ≥ 1.
0
1
xp−1 1 t
1.27. Test uegentlig integral ☞ [S] 5.10 Improper integrals
Test 1
2
Integralet 3√ dx er konvergent.
x
Løsning
0
1
t
2x −1/3 dx =
→ 3
3x 2/3 1
for t → 0
t
= 3 − 3t 2/3
Afkryds:
ja nej
1.28. Sammenligning af uegentlige integraler ☞ [S] 5.10 Improper integrals
Sætning (Sammenligning)
Antag at kontinuerte funktioner f,g opfylder uligheden f(x) ≥ g(x) ≥ 0 for x ≥ a.
(a) ∞
a f(x)dx konvergent ⇒ ∞
a
g(x)dx konvergent.