A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

244 IX. OPGAVER
2.2. Oversigt ☞ Matematik Alfa 1, Januar 2003
Opgaver
1. Find gradient og retningsafledt
2. Angiv egenvektorer
3. Beregn et dobbeltintegral
4. Beregn en ortogonal projektion
5. Løs en lineær differentialligning
6. Angiv en potensrække og find en grænseværdi
7. Bestem kritiske punkter og ekstrema
2.3. Find gradient ☞ Matematik Alfa 1, Januar 2003
Opgave 1
Betragt funktionen
for x > 0,y > 0.
f(x,y) =
1 + y
x + y
1) Angiv ∂f
∂x (5,2).
2) Angiv ∇f(5,2).
3) Angiv en enhedsvektor u så at den retningsafledede Duf(5,2) er 0.
2.4. Find gradient ☞ Matematik Alfa 1, Januar 2003
Opgave 1 - løsning
1) De partielle afledede beregnes
2) Gradienten angives
fx =
fy =
−y − 1
(x + y) 2
x − 1
(x + y) 2
fx(5,2) = − 3
49
∇f(5,2) = (fx(5,2),fy(5,2)) = (− 3 4
,
49 49 )
2.5. Find gradient
Opgave 1 - løsning
☞ Matematik Alfa 1, Januar 2003
7 ∇f
3. I retning u = (u1,u2) er den
retningsafledede
(5,2)
u
5 6
x
Duf(5,2) = ∇f(5,2) · u
= (− 3 4
, ) · (u1,u2)
49 49
= 1
49 (−3u1 + 4u2)
2.6. Find gradient ☞ Matematik Alfa 1, Januar 2003
Opgave 1 - løsning
Den retningsafledede
Duf(5,2) = 1
49 (−3u1 + 4u2) = 0