A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

70 I. DIFFERENTIATION
kaldes de ubekendte λ, µ for Lagrange multiplikatorer.
Ligningen udtrykker at niveaufladen for f i (x0,y0,z0) tangerer begræsningskurven g(x,y,z) =
k, h(x,y,z) = c.
7.31. Lagrange multiplikator metode ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Metode
Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z) under begræsningen g(x,y,z) =
k, h(x,y,z) = c.
(a) Find x,y,z,λ,µ så
∇f(x,y,z) = λ∇g(x,y,z) + µ∇h(x,y,z)
g(x,y,z) = k
h(x,y,z) = c
(b) Bestem funktionsværdierne i punkterne fra (a). Maksimum og minimum er
blandt disse.
7.32. Lagrange multiplikator metode ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Ligninger
Lagranges ligningssystem for bestemmelse af ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z)
under begræsningen g(x,y,z) = k, h(x,y,z) = c.
fx(x,y,z) = λgx(x,y,z) + µhx(x,y,z)
fy(x,y,z) = λgy(x,y,z) + µhy(x,y,z)
fz(x,y,z) = λgz(x,y,z) + µhz(x,y,z)
g(x,y,z) = k
h(x,y,z) = c
7.33. To betingelser ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Eksempel 5
Lagranges ligningssystem for bestemmelse af ekstremumspunkter for funktion f = x +
2y + 3z under begræsningen g = x − y + z = 1, h = x 2 + y 2 = 1.
1 = λ + µ2x
2 = −λ + µ2y
3 = λ
x − y + z = 1
x 2 + y 2 = 1
7.34. To betingelser ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Eksempel 5 - fortsat
Løsningen giver relevante punkter
(x,y,z) = (− 2
√ 29 , 5
√ 29 ,1 + 7
√ 29 )
(x,y,z) = ( 2
√ 29 , − 5
√ 29 ,1 − 7
√ 29 )