A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

230 VIII. APPENDIKS
1.26. Rod på polarform ☞ [S] Appendix I Complex numbers
3 Sætning - Rod af kompleks tal
Hvis z = r(cos θ + isin θ) = 0 og n et positivt helt tal, så har z de n forskellige n-te
rødder (w n k
= z)
hvor k = 0,1,...,n − 1.
wk = r 1/n
cos
θ + 2kπ θ + 2kπ
+ isin
n
n
n-te rødder af et kompleks tal fremkommer ved at tage n-te rod af modulus og n-te del af
alle argumenter.
|z 1/n | = |z| 1/n
arg(z 1/n ) =
arg z + 2kπ
n
1.27. Kvadratrod på polarform ☞ [S] Appendix I Complex numbers
Figur - kvadratrod
Im
i
1
2
1.28. Rod på polarform ☞ [S] Appendix I Complex numbers
Eksempel 7
Find 6-te rødder af −8.
Løsning
z = 8(cos π + isin π)
så
hvor k = 0,1,...,5.
For eksempel
wk = 8 1/6
cos
w0 = √
2 cos
√ z
z
Re
π + 2kπ π + 2kπ
+ isin
6
6
π
+ isin
6
π
=
6
√ √
3 1
2 +
2 2 i
1.29. Algebraens fundamentalsætning ☞ [S] Appendix I Complex numbers
Eksempel
Sætningen om rødder giver, at ligningen x n − z = 0 har n rødder w0,w1,...,wn−1.
Sætning - Algebraens fundamentalsætning