A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

4. TAYLORPOLYNOMIER 133
c3 = 0,
c4 = − 1
3 · 4 c2 = (− 1
3 · 4 )(−1
1
) =
2 4! .
y(x) = 1 − 1
2 x2 + 1
4! x4 − 1
6! x6 + ...
- netop cosinus rækken ! y(x) = cos x er en løsning til y + y ′′ = 0, med y(0) = 1 og
y ′ (0) = 0.
4. Taylorpolynomier
4.1. Oversigt ☞ [S] 8.7, 8.8, 8.9
Nøgleord og begreber
✌ Binomialformlen
✌ Binomialkoefficienter
✌ Binomialrækken
✌ Taylor polynomier
✌ Vurdering af Taylor’s restled
✌ Eksponentialrækken konvereger mod eksponentialfunktionen
4.2. Binomialformler ☞ [S] 8.8 The binomial series
(a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2
(a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3
(a + b) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 ab 3 + b 4
(a + b) k =
k
n=0
k
a
n
k−n b n ,
4.3. Binomialformler ☞ [S] 8.8 The binomial series
hvor
k
=
n
k(k − 1)(k − 2)...(k − n + 1)
1 · 2 · 3 · ... · n
(n faktorer i tælleren, nedstigende fra k
n faktorer i nævneren, opstigende fra 1).
4
=
2
4 · 3 12
= = 6
1 · 2 2
4.4. Binomialformler ☞ [S] 8.8 The binomial series
k
=
n
k(k − 1)(k − 2)...(k − n + 1)
1 · 2 · 3 · ... · n
giver mening selv om k ikke er et positivt helt tal.
1.6
=
3
1.6 · 0.6 · (−0.4)
=
1 · 2 · 3
−0.384
= −0.064
6