A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

32 I. DIFFERENTIATION
Funktionen w = f(x,y,z) har tangentplan i punktet (a,b,c,d), d = f(a,b,c) med ligning
w − d =
fx(a,b,c)(x − a) + fy(a,b,c)(y − b) + fz(a,b,c)(z − c)
3.29. Udvid til mange variable ☞ [S] 11.4 Tangent planes and linear approx.
Definition - fortsat
Funktionen w = f(x,y,z) har lineær approximation
og differential
f(x,y,z) ≈ f(a,b,c)
+ fx(a,b,c)(x − a) + fy(a,b,c)(y − b) + fz(a,b,c)(z − c)
dw = ∂w
∂x
∂w ∂w
dx + dy +
∂y ∂z dz
3.30. Afsluttende opgave ☞ [S] 11.4 Tangent planes and linear approx.
Øvelse 21
Find differentialet af
w = ln x 2 + y 2 + z 2
Løsning
Beregn først
wx =
=
1 d
x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 dx
x
x 2 + y 2 + z 2
3.31. Afsluttende opgave ☞ [S] 11.4 Tangent planes and linear approx.
Øvelse 21 - alternativ
w = ln x 2 + y 2 + z 2 = 1
2 ln(x2 + y 2 + z 2 )
Løsning
Beregn
wx = 1
2 ·
=
1
x2 + y2 · 2x
+ z2 x
x 2 + y 2 + z 2
3.32. Afsluttende opgave ☞ [S] 11.4 Tangent planes and linear approx.
Øvelse 21 - fortsat
Ved symmetri
Differentialet er
wy =
w = ln x 2 + y 2 + z 2
wx =
x
x 2 + y 2 + z 2
y
x2 + y2 + z2 ,wz
z
=
x2 + y2 + z2 dw =
xdx + ydy + zdz
x 2 + y 2 + z 2