A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

1. EGENVEKTORER 197
Fra andengradspolynomiet
3
− λ 3
−2 −4 − λ
= (3 − λ)(−4 − λ) − 3 · (−2) = λ2 + λ − 6
fås, at matricen
har de to rødder
som egenværdier.
A =
3
3
−2 −4
λ1 = −3, λ2 = 2
1.19. Beregn egenrum ☞ [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer
Eksempel 2 - fortsat
For λ1 = −3 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem
med matrix
3 − λ1 3
=
−2 −4 − λ1
Heraf fås egenvektorerne
x1
=
hvor x2 vælges frit.
x2
6 3
∼
−2 −1
1 −2 x2
= x2
x2
1 −2 1
1 1 2
0 0
1.20. Beregn egenrum ☞ [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer
Eksempel 2 - fortsat
For λ2 = 2 beregnes egenrummet som løsningsrum for det homogene ligningssystem med
matrix
3 − λ2 3
=
−2 −4 − λ2
Heraf fås egenvektorerne
x1
−3x2
=
hvor x2 vælges frit.
x2
x2
1 3
∼
−2 −6
= x2
−3
1
1 3
0 0
1.21. Egenrum ☞ [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer
Eksempel 2 - fortsat
Matricen
har egenværdier
og egenrum
A =
3
3
−2 −4
λ1 = −3, λ2 = 2
1 −
E−3 = span{ 2
−3
}, E2 = span{ }
1
1
1.22. Egenrum underrum ☞ [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer
Eksempel 2 - fortsat - figur