A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

Bestem ekstremumsværdier af
under bibetingelsen
7. LAGRANGEMETODEN 69
f(x,y,z) = (x,y,z) − (3,1, −1) 2
= (x − 3) 2 + (y − 1) 2 + (z + 1) 2
g(x,y,z) = x 2 + y 2 + z 2 = 4
7.27. Find mindste afstand ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Eksempel 4 - løsning
Lagranges ligningssystem opskrives
Heraf
2(x − 3) = λ2x
2(y − 1) = λ2y
2(z + 1) = λ2z
x 2 + y 2 + z 2 = 4
x = 3/(1 − λ), y = 1/(1 − λ), z = −1/(1 − λ)
9 + 1 + 1 = 4(1 − λ) 2
7.28. Find mindste afstand
Eksempel 4 - løsning
☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
√
11
λ = 1 ± ,
2
f(x,y,z) = 4λ2
λ = 1 − √ 11
2 giver afstand 2|λ| = √ 11 − 2 og nærmeste punkt
(x,y,z) = ( 6
√ 11 , 2
√ 11 , − 2
√ 11 )
λ = 1 + √ 11
2 giver afstand 2|λ| = √ 11 + 2 og punktet længst væk
(x,y,z) = (− 6
√ 11 , − 2
√ 11 , 2
√ 11 )
7.29. Maksimum/minimum under bibetingelse ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Lagrange Problem
Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z), når samtidig ligninger g(x,y,z) =
k, h(x,y,z) = c er opfyldt.
Ligningerne g(x,y,z) = k, h(x,y,z) = c kaldes undertiden begrœnsningen eller bibetingelsen.
7.30. Lagranges multiplikator ☞ [S] 11.8 Lagrange multipliers
Definition
Bestem ekstremumspunkter for en funktion f(x,y,z) under begræsningen g(x,y,z) =
k, h(x,y,z) = c.
I ligningen
16
∇f(x0,y0,z0) = λ∇g(x0,y0,z0) + µ∇h(x0,y0,z0)