A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

2. DIAGONALISERING 205
2.13. Matrixpotenser ☞ [LA] 10 Diagonalisering
Eksempel - Potens
Hvis B diagonaliserer A
A = BΛB −1
så er potensen
Λ k =
A k = BΛ k B −1
2
5
⎛
⎜
⎝
λ k 1 0 ...
0
. .. 0
. 0 λ k n
2.14. Gammelt eksempel, potens ☞ [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer
Eksempel 1, 2 - fortsat
3
A =
−2
3 −3
, B =
−4 1
1 −2 1
B −1
2 −
= 5 −1
5 2
, Λ =
0
0
−3
opfylder matrixidentiteten
6
5
A = BΛB −1
2.15. Gammelt eksempel, potens ☞ [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer
Eksempel 1, 2 - fortsat
3
k 3
⎞
⎟
⎠
−2 −4
1 k −3 −
= 2 2 0
1 1 0 (−3) k
2 −
2
= 1
5
5 −1
5
6
k k 6 · 2 − (−3)
5 5
3 · 2k − 3 · (−3) k
−2 · 2 k + 2 · (−3) k −2 k + 6 · (−3) k
2.16. Gammelt eksempel, potens ☞ [LA] 9 Egenværdier og egenvektorer
Eksempel 1, 2 - fortsat
3
10 3
−2 −4
= 1
10 10 6 · 2 − (−3) 3 · 2
5
10 − 3 · (−3) 10
−2 · 210 + 2 · (−3) 10 −210 + 6 · (−3) 10
−10581 −34815
=
23210 70654
2.17. Nyt eksempel ☞ [LA] 10 Diagonalisering
Eksempel 1 - Opgave!
Betragt matricen
11 −6
A =
12 −6
1) Angiv egenværdierne for A.
2) Angiv egentlige egenvektorer for hver af disse egenværdier.
3) Diagonaliser A ved brug af en matrix B.