A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

262 IX. OPGAVER
Løsning. 1) De partielle afledede er
Lagrange ligningerne er
I dette tilfælde
fx = 2x, fy = 2y, gx = y, gy = x.
fx = λgx, fy = λgy, g = k.
2x = λy, 2y = λx, xy = 5.
x,y er ikke nul og har samme fortegn. Det følger, at λ = 2, x = y . Mulige minimumspunkter
er da
(x,y) = ±( √ 5, √ 5)
Da funktionsværdien i disse punkter er ens, er dette de to søgte punkter.
2) Minimumsværdien er f( √ 5, √ 5) = 10 .
Opgave 7. Bestem den funktion y(x) (for x > 0), der opfylder
og begyndelsesbetingelsen y(1) = 1.
y ′ = − 2y
x
+ x2
Løsning. En analytisk løsning kan med notation fra [DL] beskrives ved
og stamfunktionerne
Dette giver fuldstændig løsning
a(x) = −2
, b(x) = x2
x
−2
A(x) = a(x)dx = dx = −2ln x ,
x
B(x) = e −A(x)
b(x)dx = e 2 ln x x 2 dx
=
x 2 x 2 dx = 1
5 x5 .
y(x) = Ce A(x) + B(x)e A(x)
= Ce −2 ln x + 1
5 e−2 ln x x 5
= C 1 x3
+
x2 5 ,
hvor C er en arbitrær konstant.
I den partikulære løsning bestemmes C ved y(1) = 1.
Det ses, at den søgte partikulære løsning er
y(1) = C 1 x3
4
+ = 1 ⇒ C =
x2 5 5 .
y(x) = 4 x3
+
5x2 5 .