A4-format til udskrift. - Aarhus Universitet

190 V. MATRICER
k
−1 2
= −1
2
3 4 3 4
k
= (−10) k
4.18. Determinant af invers matrix ☞ [LA] 8 Determinanter
Sætning 12 (Inversreglen)
En kvadratisk matrix A er invertibel, hvis og kun hvis |A| = 0. Der gœlder
|A −1 | = 1
|A|
hvis |A| = 0.
Bevis
Hvis A er invertibel så giver produktreglen formlen. Hvis |A| = 0 så kan A skrives som
produkt af rækkeoperations- matricer, som hver er invertible. A er da invertibel.
4.19. Brug inversreglen
Eksempel
☞ [LA] 8 Determinanter
Matricen
⎛
1 2
⎞
3
A = ⎝4
5 6⎠
har determinant
2 3 0
|A| = 12
A er invertibel og den inverse har determinant
|A −1 | = |A| −1 = 1
12
4.20. Test inversregel
Test
Determinanten af en invertibel matrix er altid = 0.
☞ [LA] 8 Determinanter
Afkryds:
ja
nej
Løsning
Sætning 12 giver svaret direkte.
4.21. Test produktreglen
Test
☞ [LA] 8 Determinanter
Givet en kvadratisk matrix A. Hvis det(A2 ) = 0, så er det(A) = 0.
Afkryds:
ja
nej
Løsning
Af produktreglen følger
det(A) 2 = det(A 2 ) = 0
4.22. Determinant af negative potenser ☞ [LA] 8 Determinanter
Eksempel
Negative potensers determinant
−1
2
3 4
= (−1) · 4 − 2 · 3 = −10