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Wirtschaftsmathematik International Business School Berlin 2.2 Mathematischer Exkurs: Matrizenrechnung Definition. Unter einer m × n–Matrix verstehen wir eine Anordnung von m × n Zahlen in einem rechteckigen Schema mit m Zeilen und n Spalten. Wir bezeichnen Matrizen in der Regel mit großen lateinischen Buchstaben. So ist ⎛ ⎞ 1 ⎜ −2 A = ⎜ 0 ⎝ 0.5 1 0 −3 ⎟ 0.75 ⎟ 2 ⎟ ⎠ 4 −2 −2 eine 4 × 3–Matrix. Allgemein schreiben wir ⎛ ⎜ A = (aij) = ⎜ ⎝ a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n ...... am1 am2 ... amn Der erste Index steht für die Zeile, der zweite für die Spalte. Hat eine Matrix genauso viele Zeilen wie Spalten, so sprechen wir von einer quadratischen Matrix. Die Elemente a11,a22,...,ann nennen wir sodann Diagonalelemente und sprechen auch von der Hauptdiagonalen. Eine Matrix mit nur einer Spalte bzw. Zeile nennen wir auch (Spalten- bzw. Zeilen-) Vektor. Beispiel. ⎛ ⎞ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −2 ⎟ , ⎝ ⎠ 3 (4 0 − 3 5). In der Regel bezeichnen wir Vektoren mit kleinen lateinischen Buchstaben und meinen einen Spaltenvektor: ⎛ ⎞ ⎜ a = (ai) = ⎜ ⎝ Durch Vertauschen von Zeilen und Spalten (bei quadratischen Matrizen also durch Spiegeln an der Hauptdiagonalen) erhalten wir die sogenannte transponierte Matrix, die wir mit einem hochgestellten T bezeichnen. Beispiel. ⎛ ⎞ 1 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ B = ⎜ −3 4 ⎟ ⎝ ⎠ 0 2 , BT ⎛ ⎞ 1 −3 0 = ⎝ ⎠ , 2 4 2 ⎛ ⎞ −5 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x = ⎜ 4 ⎟ ⎝ ⎠ 0 , xT = (−5 4 0). 12 c○ Dr. Etienne Emmrich 2004 a1 a2 . an ⎟ . ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ . ⎟ ⎠
International Business School Berlin Wirtschaftsmathematik Schreiben wir (2,3,4) T , so ist demzufolge der Spaltenvektor mit den Komponenten 2, 3 und 4 gemeint. (Um Mißverständnisse zu vermeiden, trennen wir gelegentlich die einzelnen Komponenten eines Zeilenvektors durch ein Komma oder Semikolon.) Offenbar gilt für eine Matrix A = (aij) stets A T = (aji). Unter einer symmetrischen Matrix verstehen wir eine Matrix A mit A T = A. Beispiel. ⎛ ⎞ 1 2 ⎜ A = ⎜ 2 4 ⎝ 3 7 ⎟ ⎠ 3 7 −5 . Es können nur quadratische Matrizen symmetrisch sein. Mit Matrizen können wir nun auf recht einfache Weise rechnen. Zunächst aber halten wir fest, daß zwei Matrizen A = (aij) und B = (bij) dann und nur dann gleich sind, wenn sie vom selben Typ sind (also die gleiche Zahl von Zeilen und Spalten besitzen) und sämtliche Elemente gleich sind: aij = bij für alle i = 1,... ,m und j = 1,... ,n. Unter der Summe oder Differenz zweier Matrizen vom selben Typ verstehen wir jene Matrix, die entsteht, wenn wir die einzelnen Elemente addieren bzw. subtrahieren. Beispiel. ⎛ ⎞ 1 ⎜ 0.2 ⎝ −2 5 ⎟ ⎠ 4 −0.8 − ⎛ ⎞ 4 ⎜ 0.2 ⎝ −2 ⎟ 1 ⎟ ⎠ 2 −1 = ⎛ ⎞ −3 −4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 4 ⎟ ⎝ ⎠ 2 0.2 . So wie bei der Addition (analog bei der Subtraktion) von Null zu einer anderen Zahl, diese unverändert bleibt, bleibt eine Matrix A unverändert, wenn zu ihr die Nullmatrix, die nur aus Nullen besteht, addiert wird. Wir können eine Matrix auch mit einer Zahl multiplizieren, indem wir jeden Eintrag der Matrix mit dieser Zahl multiplizieren. Beispiel. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3 2.5 · ⎝ −3 4 7.5 −7.5 ⎠ = ⎝ 10 ⎠ . −2 0 −1 −5 0 −2.5 Satz. Seien A, B und C beliebige Matrizen vom selben Typ und seien λ und µ zwei beliebige reelle Zahlen. Dann gelten die folgenden Rechengesetze: A + B = B + A Kommutativität (A + B) + C = A + (B + C) Assoziativität λ · (A + B) = λ · A + λ · B Distributivität (λ + µ) · A = λ · A + µ · B Distributivität (A ± B) T = A T ± B T Wir kommen nun zur Matrixmultiplikation, die wir schon kennen: Wir haben sie bereits im vorhergehenden Abschnitt angewandt, ohne sie so zu nennen. c○ Dr. Etienne Emmrich 2004 13
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