Inhalt - Institut für Mathematik

International Business School Berlin Wirtschaftsmathematik
erste Ableitungen, nach a und nach b. Wir bezeichnen diese sogenannten partiellen Ableitungen
mit
∂F
∂a ,
∂F
∂b .
Soll die Ableitung nach a berechnet werden, so geschieht dies wie üblich, wobei man b als
Konstante ansieht. Entsprechendes gilt für die Ableitung nach b. Es folgen (ohne daß wir hierauf
näher eingehen wollen) die notwendigen Bedingungen für das Vorliegen eines Extremums
∂F
∂a
∂F
∂b
= 2
= 2
m
(axi + b − yi)xi = 0,
i=1
m
(axi + b − yi) = 0.
Nach einigen Umformungen ergibt sich das lineare Gleichungssystem
a
m
i=1
a
i=1
m
xi + bm =
i=1
x 2 i + b
m
xi =
aus dem die beiden Parameter a und b zu bestimmen sind.
i=1
m
i=1
yi
(5.1a)
m
xiyi , (5.1b)
Da a und b nur quadratisch in F eingehen, sind die notwendigen Bedingungen hier sogar hinreichend.
Die Funktion F nimmt tatsächlich ihr Minimum in a und b an, wenn diese nur dem
Gleichungssystem (5.1) genügen. Unter der Bedingung (5.1) sind der lineare Zusammenhang
und mithin die Ausgleichsgerade eindeutig bestimmt.
Für unser Beispiel gilt:
i=1
i xi yi x 2 i xi · yi
1 2 0.3 4 0.6
2 4 0.3 16 1.2
3 6 2.5 36 15.0
m = 4 8 2.9 64 23.2
20 6.0 120 40.0
Zu lösen ist daher das lineare Gleichungssystem
20a + 4b = 6
120a + 20b = 40
Dividieren wir die zweite Gleichung durch 5 und ziehen die erste Gleichung ab, so folgt 4a = 2,
d. h. a = 0.5. Dann folgt aus der ersten Gleichung 4b = 6 − 10 = −4, also b = −1. In Abb. 6
sind sowohl die Meßdaten als auch die Ausgleichsgerade y = 0.5x − 1 zu sehen.
Aufgabe 5.1. Bestimme für das in Abschnitt 5.1 zitierte Unternehmen die unter der Annahme
einer linearen Trendentwicklung zu erwartenden Absatzzahlen der nächsten Monate.
c○ Dr. Etienne Emmrich 2004 41