Inhalt - Institut für Mathematik

International Business School Berlin Wirtschaftsmathematik
Ziel ist es, ab der zweiten Gleichung x1 zu eliminieren, d. h. unterhalb des bereits in einen Kasten
gesetzten Pivotelements (frz. le pivot = Türangel, Hauptstütze, Dreh- und Angelpunkt) Nullen
zu erzeugen. Dazu nehmen wir folgende Operationen vor:
Es folgt
2 1 5 3 16
4 2 1 8 12 −4 2 × erste Zeile
2 2 6 5 15 −2 2 × erste Zeile
1 5
2
7
2 −3
2 11 −1 2 × erste Zeile
2 1 5 3 16
0 0 −9 2 −20
0 1 1 2 −1
0 2 1 −3 3
Nun wollen wir wie eben verfahren und unterhalb der zweiten Gleichung die Variable x2 eliminieren.
Doch leider steht in der zweiten Zeile und zweiten Spalte bereits eine Null. Deshalb
müssen wir die zweite mit der dritten (oder auch der vierten) Gleichung tauschen:
Es folgt
und schließlich
2 1 5 3 16
0 1 1 2 −1
0 0 −9 2 −20 bleibt unverändert
0 2 1 −3 3 −2 1 × zweite Zeile
2 1 5 3 16
0 1 1 2 −1
0 0 −9 2 −20
0 0 −1 −7 5 − −1
−9 × dritte Zeile
2 1 5 3 16
0 1 1 2 −1
0 0 −9 2 −20
0 0 0 − 65
9
Aus der letzten Zeile folgt sofort x4 = −1. Setzen wir dies in die dritte Gleichung ein, so folgt
−9x3 −2 = −20, also x3 = 2. Aus der zweiten Gleichung folgt dann x2 = −1 und aus der ersten
x1 = 5. Eine Probe bestätigt unsere Lösung (5, −1,2, −1).
Gehen wir von dem allgemeinen (womöglich rechteckigen) System
65
9
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
......
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
c○ Dr. Etienne Emmrich 2004 23