Inhalt - Institut für Mathematik

Wirtschaftsmathematik International Business School Berlin
besitzt genau eine Lösung, nämlich (x,y) = (1,2). Aus der ersten Gleichung folgt unmittelbar
y = 2x. Mithin besagt die zweite Gleichung, daß 3x = 3, also x = 1 gilt. Dann aber ist y = 2.
Eine andere Lösung kann es nicht geben.
Das lineare Gleichungssystem
x − y + z = 0
2x + y = 5
6x + 2z = 10
besitzt unendlich viele Lösungen. Zunächst folgt aus der ersten Gleichung y = x + z. Dann
aber besagt die zweite Gleichung, daß 3x + z = 5. Multiplizieren wir diese Gleichung mit
Zwei, so erhalten wir die dritte Gleichung, die uns also keine neue Erkenntnis liefert. Mit
(x,y,z) = (1,3,2) ist eine Lösung gegeben. Aber auch jeder Vektor der Gestalt (x,5−2x,5−3x)
(z. B. (0,5,5)) ist Lösung des Gleichungssystems, wobei wir x frei wählen können.
Im vorigen Abschnitt haben wir bereits an einem Beispiel ein mögliches Vorgehen zur Lösung
eines linearen Gleichungssystems beschrieben. Es besteht nun die Aufgabe, einen allgemeinen
Algorithmus anzugeben. Dies wird der nach Carl Friedrich Gauß (1777 – 1855) benannte Gauß-
Algorithmus sein.
Wir halten zunächst fest, daß
• das Vertauschen zweier Gleichungen,
• das Addieren einer Gleichung zu einer anderen,
• die Multiplikation einer Gleichung mit einer von Null verschiedenen Zahl
die Menge der Lösungen des linearen Gleichungssystems unverändert läßt, denn alle diese Operationen
sind umkehrbar.
Das Ziel besteht nun darin, die oben genannten elementaren Umformungen so anzuwenden, als
daß wir zu einem äquivalenten Gleichungssystem gelangen, aus dem wir leicht ablesen können,
• ob das Gleichungssystem lösbar ist,
• falls es lösbar ist, ob es eine oder unendlich viele Lösungen gibt und
• wie sämtliche Lösungen lauten.
Wir demonstrieren den Gauß-Algorithmus zunächst an einem Beispiel.:
Beispiel. Wir wollen das lineare Gleichungssystem
2x1 + x2 + 5x3 + 3x4 = 16
4x1 + 2x2 + x3 + 8x4 = 12
2x1 + 2x2 + 6x3 + 5x4 = 15
x1 + 5
2 x2 + 7
2 x3 − 3
2 x4 = 11
lösen. Um die Sache übersichtlicher zu gestalten, schreiben wir dies in der kurzen Form
2 1 5 3 16
4 2 1 8 12
2 2 6 5 15
1 5
2
7
2 −3
2 11
22 c○ Dr. Etienne Emmrich 2004