Inhalt - Institut für Mathematik

Wirtschaftsmathematik International Business School Berlin
Unter dem empirischen Mittel oder auch arithmetischen Mittwelwert der Größen x1,...,xm
verstehen wir den Wert
¯x := 1
m
xi .
m
Entsprechend ist ¯y definiert. Die empirische Standardabweichung ist als
i=1
σx := 1
m
(xi − ¯x)
m − 1
2
definiert. Sie ist ein Maß für das Abweichen der Meßdaten xi (i = 1,... ,m) vom Mittelwert ¯x.
Das Quadrat σ2 x wird als empirische Varianz bezeichnet.
Bemerkung. Man mag verwundert sein, daß in der Definition von σx durch m − 1 und nicht
durch m geteilt wird. Doch dies erfährt eine weitreichende und tiefgehende Begründung in
der Schätztheorie: Die obige Definition sichert, daß die empirische Standardabweichung eine
sogenannte erwartungstreue Schätzung für die theoretische Standardabweichung der als normalverteilten
Zufallsgröße x ist. Für eine große Zahl von Meßwerten ist der Unterschied zwischen
1/(m − 1) und 1/m gering, für kleines m dagegen macht er sich deutlich bemerkbar.
Es gilt
σ 2 x
= 1
m − 1
= 1
m − 1
m
i=1
m
Entsprechendes gilt für σy.
i=1
i=1
2
xi − 2¯xxi + ¯x 2 = 1
m
m − 1
x 2 i − 2m¯x 2 + m¯x 2
i=1
= 1
m − 1
x 2 i
m
i=1
− 2¯x
m
xi + m¯x 2
i=1
x 2 i − m¯x 2
Wir definieren außerdem noch die empirische Kovarianz von x und y:
Offenbar gilt
covx,y := 1
m − 1
m
(xi − ¯x) (yi − ¯y) .
i=1
covx,y = covy,x , covx,x = σ 2 x , covy,y = σ 2 y .
Nach einer Reihe elementarer Umformungen können wir die Ausgleichsgerade y = ax + b auch
als
(x − ¯x) + ¯y
schreiben, woraus
folgt. Wir nennen
die standardisierten Größen und
y = covx,y
σ 2 x
y − ¯y
σy
= covx,y
σxσy
x − ¯x
σx
x − ¯x y − ¯y
˜x := , ˜y :=
σx
ρx,y := covx,y
σxσy
44 c○ Dr. Etienne Emmrich 2004
σy
.