Inhalt - Institut für Mathematik

International Business School Berlin Wirtschaftsmathematik
Aufgabe 3.1. Schreibe die beiden nachstehenden linearen Gleichungssysteme in Matrix-Vektor-
Form und bestimme, wenn möglich, alle Lösungen:
2x + 3y − z = −7,
8y + 2z = 10,
−x + y − z = −4,
−x + z = 6;
2a + b − c = 1,
3a − b − 2c + d = 2,
a + 3b − d = 3.
Aufgabe 3.2. Löse die folgenden linearen Gleichungssysteme Ax = b mit
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1 2 3
⎜ ⎟
⎜ ⎟
A = ⎜ 2 3 1 ⎟,
⎝ ⎠
13
⎜ ⎟
⎜ ⎟
b = ⎜ 6 ⎟
⎝ ⎠
3 1 2 11
;
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
3 1 1
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 4 −1 2 ⎟
A = ⎜ ⎟
⎜ ⎟,
⎜ 1 −1 1 ⎟
⎝ ⎠
3
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ 4 ⎟
b = ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ;
⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠
4 −1 2 5
⎛
⎞ ⎛ ⎞
4
⎜
A = ⎜ −1
⎝
−1 −3
1 1
5
⎟
−1 ⎟,
⎠
−2
⎜ ⎟
⎜ ⎟
b = ⎜ 4 ⎟
⎝ ⎠
2 −1 −1 −2 1
;
Aufgabe 3.3. (aus [16]) Wie ist α zu wählen, damit das lineare Gleichungssystem
3x1 + 4x2 + 4x3 = 2
3x1 + 2x2 + 3x3 = 3
4x1 + 5x2 +αx3 = 4
genau eine Lösung besitzt? Gib die Lösung in Abhängigkeit von α an.
3.3 Ökonomisches Problem II: Leontief-Modell und Input-Ouput-Analyse
Bereits mit seiner Dissertation ” Die Wirtschaft als Kreislauf“, die er 1928 in Berlin verteidigte,
legte Wassily Leontief (1906 in Petersburg geboren, 1999 in New York gestorben) die Grundlagen
der Input-Output-Analyse. Für diese erhielt Leontief 1973 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften.
Ein Wirtschaftssystem sei in die produzierenden (endogenen) Sektoren P1, P2, ... , Pn und den
nichtproduzierenden Endverbraucher (exogener Sektor) E eingeteilt. Selbstverständlich könnte
es auch mehrere Sektoren von Endverbrauchern geben. Die produzierenden Sektoren beliefern
c○ Dr. Etienne Emmrich 2004 25