Inhalt - Institut für Mathematik

International Business School Berlin Wirtschaftsmathematik
y
10.15
10.1
10.05
10
∆ y = −0.059
9.95
9.9
9.85
9.8
9.75
∆ x = 0.1
f’(2) ⋅ ∆ x = − 0.1
9.7
1.9 1.95 2 2.05 2.1
x
2.15 2.2 2.25 2.3
Abbildung 4: Ableitung und Beziehung (4.1)
bekannten Mittelwertsatzes der Differentialrechung ist. Auf beide Sätze wollen wir hier nicht
näher eingehen. Stattdessen geben wir in Abb. 4 eine einfache geometrische Deutung von (4.1).
Dargestellt ist die Funktion y = x 3 − 2x 2 − 5x + 20 im Intervall [1.9,2.3]. Es gilt
f ′ (x) = 3x 2 − 4x − 5, f(2) = 10, f ′ (2) = −1.
Die Tangente im Punkt (2,f(2)) wird durch die Gerade
yT = f ′ (2) · (x − 2) + f(2) = −1 · (x − 2) + 10 = −x + 12
beschrieben. Mit x1 = 2 und x2 = 2.1 folgt
Andererseits gilt
und somit
∆y = f(2.1) − f(2) = −0.059.
f ′ (2) · ∆x = −1 · 0.1 = −0.1
∆y = −0.059 ≈ −0.1 = f ′ (x1) · ∆x.
Definition. Sei die Funktion y = f(x) gegeben und an der Stelle ˆx ihres Definitionsbereiches
differenzierbar. Gelte ferner f(ˆx) = 0. Dann heißt
εf,x(ˆx) := f ′ (ˆx) ·
ˆx dy ˆx
= ·
f(ˆx) dx |x=ˆx ˆy
Elastizität von f (bzw. y) bezüglich x an der Stelle ˆx oder auch x-Elastizität von f an der Stelle
ˆx.
Wegen (4.2) gilt
∆y
≈ εf,x(x1) ∆x
,
y1
so daß εf,x ungefähr angibt, wie stark sich die relative Änderung in x relativ auf y auswirkt.
Mit anderen Worten, die Elastizität gibt ungefähr die prozentuale Änderung in y an, wenn x
um 1% geändert wird: Es werde x1 um 1% geändert, so daß x2 = x1 + 0.01x1. Dann folgt
y2 = f(x2) = f(x1 + 0.01x1) ≈ f(x1) + 0.01x1 · f ′ (x1) = y1 + 0.01x1 · f ′ (x1).
c○ Dr. Etienne Emmrich 2004 35
x1