Inhalt - Institut für Mathematik
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International Business School Berlin Wirtschaftsmathematik<br />
existiert, wobei ∆x = 0 und ˆx + ∆x im Definitionsbereich liege. Der Grenzwert heißt erste<br />
Ableitung von f an der Stelle ˆx oder auch Differentialquotient, in Zeichen:<br />
y ′ (ˆx) bzw. f ′ (ˆx) oder auch<br />
dy<br />
bzw.<br />
dx |x=ˆx<br />
df<br />
.<br />
dx |x=ˆx<br />
Die erste Ableitung (der Differentialquotient) ist demnach der Limes der Differenzenquotienten.<br />
dem Anstieg der Sekante,<br />
Geometrisch entspricht der Differenzenquotienten ∆y<br />
∆x<br />
= f(ˆx+∆x)−f(ˆx)<br />
∆x<br />
die durch die Punkte (ˆx,f(ˆx)) und (ˆx + ∆x,f(ˆx + ∆x)) geht. Die erste Ableitung dy<br />
dx dagegen<br />
ist gleich dem Anstieg der Tangente an f im Punkt (ˆx,f(ˆx)).<br />
Stellen wir uns vor, wir ändern das Argument x. Der Differenzenquotient gibt dann den Quotienten<br />
aus der Änderung der Funktionswerte und der Änderung der Argumente an. Demzufolge<br />
beschreibt die Ableitung einer Funktion ihr Änderungsverhalten, wenn wir eine (infinitesimal)<br />
kleine Änderung in x vornehmen.<br />
Berechnen wir <strong>für</strong> alle Stellen x die jeweilige Ableitung, so erhalten wir eine neue Funktion.<br />
Beispiel. Sei y = f(x) = x 2 . Mit binomischer Formel sehen wir, daß<br />
∆y<br />
∆x = x2 2 − x2 1<br />
x2 − x1<br />
= x1 + x2 .<br />
Nähert sich ∆x nun 0, d. h. konvergiert x2 gegen x1, so folgt<br />
f ′ ∆y<br />
(x1) = lim<br />
∆x→0 ∆x = x1 + x1 = 2x1 .<br />
Die quadratische Funktion y = f(x) = x 2 besitzt überall eine Ableitung, nämlich y ′ = f ′ (x) =<br />
2x.<br />
Nicht jede Funktion besitzt in jedem Punkt eine Ableitung. So ist die Funktion y = |x| in x = 0<br />
nicht differenzierbar. Denn nähern wir uns von links der Stelle x = 0, so fällt die Betragsfunktion<br />
und der Anstieg ist überall −1. Dagegen ist die Betragsfunktion <strong>für</strong> alle Argumente, die rechts<br />
von x = 0 liegen, monoton wachsend mit dem konstanten Anstieg 1. Es gilt<br />
Daher kann der Grenzwert<br />
nicht existieren.<br />
∆y<br />
∆x = |x2| − |x1|<br />
=<br />
x2 − x1<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
⎪⎩<br />
−1 <strong>für</strong> x1,x2 < 0,<br />
x2 + x1<br />
x2 − x1<br />
− x2 + x1<br />
x2 − x1<br />
∆y<br />
lim<br />
∆x→0 ∆x<br />
<strong>für</strong> x1 < 0 < x2 ,<br />
<strong>für</strong> x2 < 0 < x1 ,<br />
1 <strong>für</strong> x1,x2 > 0.<br />
Für das Ableiten gelten insbesondere folgende Regeln, wobei a,b beliebige reelle Zahlen und u,v<br />
c○ Dr. Etienne Emmrich 2004 33