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Wirtschaftsmathematik International Business School Berlin 30 c○ Dr. Etienne Emmrich 2004
International Business School Berlin Wirtschaftsmathematik 4 Funktionen in der Ökonomie 4.1 Ökonomisches Problem: Nachfrage, Preis & Co. Der Zusammenhang zwischen fundamentalen wirtschaftlichen Größen wie Menge, Preis, Einkommen, Kosten, Nachfrage usf. wird, zumindest näherungsweise, durch mathematische Funktionen beschrieben. Oft hängen diese Funktionen nicht nur von einer sondern von vielen Variablen ab. Ob die Beschreibung durch eine gewählte mathematische Funktion sinnvoll ist, ob sie (in einem gewissen Bereich) zuverlässige Aussagen und Vorhersagen ermöglicht, ist eine Frage der mathematischen Modellierung. Mathematische Modellierung findet immer im Wechselspiel von konkreter Anwendung (hier: Teilproblem der Ökonomie) und Mathematik statt. In der Ökonomie sind es insbesondere folgende Zusammenhänge, die von Interesse sind: Nachfragefunktion Die Menge eines Gutes, die von einem (oder mehreren) Konsumenten benötigt wird, die Nachfrage, hängt von der Bevölkerungszahl, vom Einkommen, vom Vermögen, vom Preis des Gutes, vom Preis anderer Güter, vom betrachteten Zeitintervall, von der Jahreszeit, von der Qualität des Gutes, von Geschmack und Farbe des Gutes usf. ab. Einige der Variablen sind nicht oder nur schwer quantifizierbar. Halten wir – bis auf den Preis x des Gutes – alle diese Variablen fest (und fassen sie als Parameter auf), so ist die Nachfrage y eine Funktion im Preis x. Nachfrage = f(Preis) y = f(x), z. B. y = ax + b Der konkrete Verlauf einer Nachfragefunktion hängt vom konkreten Problem ab. In der Regel kann die Funktion nicht exakt angegeben werden, sondern wird aus empirischen Daten näherungsweise ermittelt (etwa mit der Fehlerquadratmethode). Dabei wird ein Ansatz (eine Funktionsklasse wie Polynome oder Exponentialfunktionen) gewählt, der den beobachteten und zu modellierenden qualitativen Eigenschaften entspricht. So wird eine Nachfragefunktion monoton fallend sein, denn mit wachsendem Preis wird die Nachfrage zurückgehen. Auch wird es einen Preis geben, bei dem die Nachfrage gleich Null ist (Nullstelle der Funktion). Im einfachsten Fall können wir dieses Verhalten durch eine lineare Funktion y = ax + b beschreiben, wobei a < 0 (monoton fallend). Außerdem ist b > 0 zu fordern, damit für positives x überhaupt eine Nachfrage existiert (y > 0). In Teilen der wirtschaftswissenschaftlichen Literatur wird bei der Nachfragefunktion nicht y über x abgetragen, sondern umgekehrt x über y. Aus mathematischer Sicht wird also die Umkehrfunktion x = y−b a dargestellt, die die Abhängigkeit des Preises von der Nachfrage wiedergibt (obwohl der Preis die unabhängige Variable sein soll). Produktionsfunktion Die von einem Gut produzierte Menge hängt von der eingesetzten Arbeitszeit, von der Rohstoffmenge usf. ab. Oft wird es ein Sättigungsniveau geben, das eine absolute Grenze für die Produktion darstellt; eine Produktionssteigerung darüberhinaus ist nicht möglich. Output = f(Input) y = f(x), z. B. y = ax ab = a − x + b x + b c○ Dr. Etienne Emmrich 2004 31
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