Inhalt - Institut für Mathematik

Wirtschaftsmathematik International Business School Berlin
Sind Meßdaten (xi,yi) gegeben, so wollen wir die Parameter a,b,c entsprechend der Fehlerquadratmethode
bestimmen.
Für den quadratischen Ansatz folgt
F(a,b,c) =
m
i=1
Dies führt auf das lineare Gleichungssystem
a
a
m
i=1
m
i=1
a
m
i=1
x 2 i
x 3 i + b
x 4 i + b
2 2
axi + bxi + c − yi → min.
+ b
m
i=1
m
i=1
m
xi + cm =
i=1
x 2 i + c
x 3 i + c
m
xi =
i=1
m
i=1
x 2 i =
aus dem die Unbekannten a, b, c bestimmt werden können.
Beispiel. Für die Absatzzahlen aus Abschnitt 5.1 folgt
Die Lösung des linearen Gleichungssystems
m
i=1
m
i=1
m
i=1
yi
xiyi
x 2 iyi ,
i xi yi x 2 i x 3 i x 4 i xiyi x 2 i yi
1 1 40.4 1 1 1 40.4 40.4
2 2 32.9 4 8 16 65.8 131.6
3 3 25.7 9 27 81 77.1 231.3
4 4 19.3 16 64 256 77.2 308.8
5 5 14.8 25 125 625 74.0 370.0
15 133.1 55 225 979 334.5 1082.1
55a + 15b + 5c = 133.1
225a + 55b + 15c = 334.5
979a + 225b + 55c = 1082.1
ergibt a ≈ 0.4857, b ≈ −9.3943 und c ≈ 49.4600. In Abb. 8 sind die Daten als auch die
Ausgleichsparabel
y ≈ 0.4857x 2 − 9.3943x + 49.4600
dargestellt. Schenkt man dem quadratischen Trend Glauben, so wird das Unternehmen etwa im
Oktober die Talsohle erreicht habe; danach geht es wieder aufwärts.
Beim hyperbolischen Ansatz y = b − a
x gilt
F(a,b) =
m
i=1
b − a
xi
− yi
2
→ min
46 c○ Dr. Etienne Emmrich 2004