Inhalt - Institut für Mathematik

Wirtschaftsmathematik International Business School Berlin
Bereich 1) Land- und Forstwirtschaft, Fischerei
Bereich 2) Produzierendes Gewerbe
Bereich 3) Dienstleistungen
Abgaben 4) Sonstige Produktionsabgaben abzüglich sonstige Subventionen
In unserer Notation haben wir
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
117.2
⎜ ⎟
⎜ ⎟
p = ⎜ 3232.4 ⎟,
⎝ ⎠
41.1
⎜ ⎟
⎜ ⎟
q = ⎜ 1857.9 ⎟,
⎝ ⎠
0.7
⎜ ⎟
⎜ ⎟
r = ⎜ 1942.8 ⎟
⎝ ⎠
3760.5 2111.8 1233.0
sowie
⎛
⎜
A = ⎜
⎝
⎛
⎜
B = ⎜
⎝
2.6
117.2
21.5
117.2
17.5
117.2
− 4.2
117.2
18.0
117.2
28.4
117.2
67.4
3232.4
1049.8
3232.4
460.5
3232.4
3.2
3232.4
731.5
3232.4
263.1
3232.4
6.1
3760.5
303.2
3760.5
1170.7
3760.5
1.7
3760.5
1193.3
3760.5
941.5
3760.5
⎞
⎟
⎠ ≈
⎛
⎞
0.0222 0.0209 0.0016
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 0.1834 0.3248 0.0806 ⎟
⎝
⎠
0.1493 0.1425 0.3113
,
⎞
⎟
⎠ ≈
⎛
⎞
−0.0358 0.0010 0.0005
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 0.1536 0.2263 0.3173 ⎟
⎝
⎠
0.2423 0.0814 0.2504
.
Wir wollen nun prüfen, ob die Beziehungen (3.4) und (3.6) erfüllt sind. Tatsächlich gilt
⎛ ⎞
⎛ ⎞
41.1
⎜ ⎟
⎜ ⎟
(I − A) · p ≈ ⎜ 1857.9 ⎟ ≈ q ,
⎝ ⎠
0.7
⎜ ⎟
⎜ ⎟
B · p ≈ ⎜ 1942.8 ⎟ = r .
⎝ ⎠
2111.7
1233.0
Es sollen nun die erforderlichen Gesamtproduktionen und Primärinputs berechnet werden, wenn
die letzte Verwendung von Gütern (Konsum, Exporte, etc.) aus Land- und Forstwirtschaft
100 Mrd. DM, jene aus dem produzierenden Gewerbe 1500 Mrd. DM und jene aus Dienstleistungen
3000 Mrd. DM beträgt. Wir müssen also aus dem linearen Gleichungssystem (3.4)
den Vektor p bestimmen, wobei A wie oben und q = (100,1500,3000) T gegeben sind. Mit
dem Gaußschen Algorithmus folgt p = (171.6,2863.4,4985.7) T . Aus (3.6) berechnen wir dann
r = (−1.1,2256.5,1522.9) T .
Aufgabe 3.4. Beschaffe (etwa per Internet vom Statistischen Bundesamt) eine reale Input-
Output-Tabelle und überprüfe (zumindest auszugsweise), ob die dortigen Angaben mit dem
Leontief-Modell in Einklang stehen.
Aufgabe 3.5. (In Anlehnung an [10].) In einer Cafeteria werden belegte Brötchen, Kaffee und
Eis angeboten. Leider verzehren die Betreiber selbst gern ihre Produkte, nämlich etwa jedes
zehnte Brötchen, nach je 25 Kugeln Eis nochmal ein Brötchen, jeweils nach dem Verkauf von 20
Brötchen etwa eine Kugel Eis und außerdem jede 50. Kugel Eis. Stelle die Matrix A aus dem
Leontief-Modell auf und berechne die erforderliche tägliche Gesamtproduktion, wenn pro Tag
eine Nachfrage von 55 Brötchen, 200 Tassen Kaffee und 150 Kugeln Eis besteht.
Aufgabe 3.6. (aus [10]) Ein Betrieb benötigt für die Herstellung der drei Produkte P1, P2,
P3 die Ausgangsmaterialien A1, A2, A3, und zwar zwei Mengeneinheiten (ME) von A1, drei
von A2 und eine von A3 für die Produktion einer ME von P1, je eine ME von A1 bzw. A3
28 c○ Dr. Etienne Emmrich 2004