Inhalt - Institut für Mathematik

International Business School Berlin Wirtschaftsmathematik
3 Diätplan, Leontief-Modell und lineare Gleichungssysteme
3.1 Ökonomisches Problem I: Diätplan
An einer Klinik sollen diätetische Mahlzeiten zubereitet werden, die eine vorgegebene Menge an
Kilocalorien, Fetten, Kohlehydraten usw. besitzen sollen.
Der Einfachheit wollen wir annehmen, daß eine Mahlzeit aus Milch, Reis und Gemüsen zusammengestellt
werden kann. Dabei haben 100 g Milch 50 kcal, 5 g Kohlehydrate und 1.5 g Fett.
Auf 100 g Reis entfallen 350 kcal, 75 g Kohlehydrate und 2 g Fett. Der durchschnittliche Brennwert
von 100 g Gemüse beträgt 20 kcal. Außerdem sind in 100 g Gemüse 2 g Kohlehydrate und
0.2 g Fett enthalten. Wieviel Gramm Milch, Reis und Gemüse darf die Mahlzeit nun besitzen,
wenn sie einen Brennwert von exakt 1050 kcal, 185 g Kohlehydrate und 12.5 g Fett besitzen
soll?
Wir wollen mit x1, x2 bzw. x3 die Mengen von Milch, Reis bzw. Gemüse (jeweils gemessen in
100 g) bezeichnen. Dann soll gelten:
50 x1 + 350x2 +20 x3 = 1050 Brennwert in kcal je 100g
5 x1 + 75x2 + 2 x3 = 185 Kohlehydrate in g je 100g
1.5x1 + 2x2 + 0.2x3 = 12.5 Fett in g je 100g
Dies ist ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten x1, x2, x3.
Es ist üblich, lineare Gleichungssysteme mit Hilfe von Matrizen und Vektoren zu schreiben.
Seien hierzu
⎛
⎞ ⎛ ⎞
50
⎜
A = ⎜ 5
⎝
350
75
20
⎟
2 ⎟ ,
⎠
1050
⎜ ⎟
⎜ ⎟
b = ⎜ 185 ⎟
⎝ ⎠
1.5 2 0.2
12.5
.
Dann können wir für (3.1) auch kurz
A · x = b
schreiben, wobei x = (x1,x2,x3) T der Vektor der zu bestimmenden Größen sei. Wir nennen A
auch Koeffizientenmatrix und b rechte Seite.
Doch wie lösen wir nun ein lineares Gleichungssystem? Ein mögliches Vorgehen besteht darin,
eine Gleichung nach einer Unbekannten aufzulösen und in die anderen Gleichungen einzusetzen.
So können wir Schritt für Schritt die Unbekannten eliminieren und erhalten (leider nicht immer)
zum Schluß eine Gleichung zur Bestimmung einer Unbekannten. Aus dieser können wir sodann
sukzessive die anderen Unbekannten berechnen.
Wir wollen die erste Gleichung aus (3.1) nach x1 auflösen:
(3.1)
x1 = 1
50 (1050 − 350x2 − 20x3) = 21 − 7x2 − 0.4x3 . (3.2)
Einsetzen in die zweite Gleichung liefert sodann
woraus nach einigem Sortieren
5 · (21 − 7x2 − 0.4x3) + 75x2 + 2x3 = 185,
40x2 = 80
c○ Dr. Etienne Emmrich 2004 19